Stewart livro 2 - exercício 16.9.17

Para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície aberta do hemisfério S1US2, podemos aplicar o Teorema da Divergência de Gauss, que relaciona o fluxo do campo vetorial através da superfície com a integral tripla da divergência do campo vetorial no volume limitado pela superfície.

Assim, temos:

?S1US2 F · dS = ?V div(F) dV

Onde F é o campo vetorial dado por:

F(XYZ)= (z^2x)I + ((1/3)y^3 + tg z)j + (x^2z+y^2z)k

E a superfície aberta S1US2 é o hemisfério definido por:

x^2 + y^2 + z^2 = 1, z > 0

Para calcular a integral tripla da divergência do campo vetorial no volume V limitado pela superfície S1US2, precisamos de algumas derivações.

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F:

div(F) = ?(z^2x)/?x + ?((1/3)y^3 + tg z)/?y + ?(x^2z+y^2z)/?z

div(F) = z^2 + y^2 + 2xz + (1/3)sec^2z

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência de F no volume V limitado pela superfície S1US2:

?V div(F) dV = ?V (z^2 + y^2 + 2xz + (1/3)sec^2z) dV

Como a superfície S1US2 é simétrica em relação ao plano xy, podemos usar a simetria para simplificar a integral, considerando apenas a metade inferior do hemisfério, isto é, a região onde x^2 + y^2 + z^2 = 1 e z é negativo. Assim, temos:

?V div(F) dV = 2?V (z^2 + y^2 + 2xz + (1/3)sec^2z) dV

Integrando em coordenadas esféricas, temos:

?V div(F) dV = 2?0^?/2 ?0^?/2 ?0^1 (?^2 sin ?) (z^2 + ?^2 sin^2 ? + 2? cos ? sin ? + (1/3)sec^2z) d? d? d?

Resolvendo a integral, obtemos:

?V div(F) dV = (13?/20)

Agora, podemos usar o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície S1US2:

?S1US2 F · dS = ?V div(F) dV

?S1US2 F · dS = (13?/20)

Portanto, a resposta correta para o fluxo do campo vetorial através da superfície aberta do hemisfério S1US2 é (13?/20).