Distância de ponto a reta

Para encontrar a distância de um ponto \(P(x_0, y_0)\) a uma reta no plano, usamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, que é dada por: \[ \text{dist}(P, r) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] onde a equação da reta é \(Ax + By + C = 0\). Vamos calcular a distância para cada caso: a) \(P(5,7)\) e \(r: 4x - 3y + 2 = 0\) Para encontrar \(A\), \(B\), e \(C\), podemos reescrever a equação da reta na forma \(Ax + By + C = 0\): \(4x - 3y + 2 = 0\) se torna \(4x - 3y - 2 = 0\) Então, temos \(A = 4\), \(B = -3\), e \(C = -2\). Substituindo esses valores na fórmula da distância, temos: \[ \text{dist}(P, r) = \frac{|4 \cdot 5 - 3 \cdot 7 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} \] \[ = \frac{|20 - 21 - 2|}{\sqrt{16 + 9}} \] \[ = \frac{|-3|}{\sqrt{25}} \] \[ = \frac{3}{5} \] Portanto, a distância do ponto \(P(5,7)\) à reta \(r: 4x - 3y + 2 = 0\) é \(\frac{3}{5}\). b) \(P(1, -2)\) e \(r: y = -\frac{3}{4}x + 1\) Neste caso, a equação da reta já está na forma \(y = mx + c\), onde \(m\) é o coeficiente angular e \(c\) é o intercepto com o eixo y. O coeficiente angular \(m\) é \(-\frac{3}{4}\). A equação \(Ax + By + C = 0\) é equivalente a \(y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}\). Portanto, podemos escrever a equação da reta como \(y = -\frac{4}{3}x + 1\). Comparando com a equação geral da reta, temos \(A = 4\), \(B = 3\), e \(C = -4\). Substituindo esses valores na fórmula da distância, temos: \[ \text{dist}(P, r) = \frac{|4 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + (-4)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \] \[ = \frac{|4 - 6 - 4|}{\sqrt{16 + 9}} \] \[ = \frac{|-6|}{\sqrt{25}} \] \[ = \frac{6}{5} \] Portanto, a distância do ponto \(P(1, -2)\) à reta \(r: y = -\frac{3}{4}x + 1\) é \(\frac{6}{5}\). c) \(P(-1, 4)\) e \(r: x + y = 0\) Neste caso, a equação da reta está na forma \(x + y = 0\), que pode ser reescrita como \(x + y + 0 = 0\). Portanto, \(A = 1\), \(B = 1\), e \(C = 0\). Substituindo esses valores na fórmula da distância, temos: \[ \text{dist}(P, r) = \frac{|1 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \] \[ = \frac{|-1 + 4|}{\sqrt{1 + 1}} \] \[ = \frac{3}{\sqrt{2}} \] \[ = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Portanto, a distância do ponto \(P(-1, 4)\) à reta \(r: x + y = 0\) é \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\). d) \(P(2, 6)\) e \(r: 2x + 1 = 0\) Para encontrar \(A\), \(B\), e \(C\), podemos reescrever a equação da reta na forma \(Ax + By + C = 0\): \(2x + 1 = 0\) se torna \(2x + 0y + 1 = 0\) Então, temos \(A = 2\), \(B = 0\), e \(C = 1\). Substituindo esses valores na fórmula da distância, temos: \[ \text{dist}(P, r) = \frac{|2 \cdot 2 + 0 \cdot 6 + 1|}{\sqrt{2^2 + 0^2}} \] \[ = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{4}} \] \[ = \frac{5}{2} \] Portanto, a distância do ponto \(P(2, 6)\) à reta \(r: 2x + 1 = 0\) é \(\frac{5}{2}\).

Foram fornecidos o ponto P (x',y') e a reta r: ax=by=c=0 .
A distância utiliza as coordenadas do ponto e da reta uma vez que teremos o ponto transladado como se fosse a ORIGEM de um novo sistema de coordenadas.
Neste caso, calculamos:

Para cada item você vai trabalhar da mesma forma, apenas substituindo as letras pelas coordenadas do ponto e da reta:

a) P(5,7)
    r: 4x-3y+2 =0 

        (Só para que você enxergue o que foi feito, apenas substituí as coordenadas da reta pelo do exercício)
( Agora, fiz a substituição das coordenadas do ponto P)
(Lembre-se que você está trabalhando com o módulo...o resultado é sempre positivo! Não existe distância negativa)


d=1/5  ( é a distância que procurávamos)

b) P(1,-2)
    r: y=-3x/4+1
 

Espero que a explicação do exercício a) tenha sido clara. Agora vou fazer sem as explicações. Mas caso precise que explique algo, pode entrar em contato.

r: (y = -3x/4+1)*4
r: 4y=-3x+4
r: 3x+4y-4







c) P(-1,4)
    r: x+y=0

(racionaliza aqui, e fica)

d) P(2,6)

    r: 2x+1=0

TEMOS:

Espero ter esclarecido a sua dúvida! Bom dia!
 

 

Olá.

Precisa substituir as coordenadas do Ponto P e os coeficientes da equação da reta r na fórmula da distância

Basta aplicar a fórmula modulo de ax0+by0+c/ raiz quadrada de a²+b². Sendo x0 e y0 as cordenadas de P(x0,y0) e a o coeficiente de x, b de y e c o termo independente da equação da reta. Abraços, espero que tenha entendido