Encontre os pontos no hiperboloide x²+ 4y²-z² = 4 onde o plano tangente é paralelo ao plano 2x + 2y + z = 5
Olá Matheus, tudo bem?
Considere a seguinte função f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 -z^2 - 4 definida em R^3. O hiperbóloide é formado exatamente por aqueles pontos (x,y,z) em R^3 tais que f(x,y,z) = 0.
Uma forma de recuperar o espaço tangente em um ponto (x,y,z) do hiperbóloide definido pela função f (acima descrita) é olhando o subspaço perpendicular ao vetor gradiente de f, a saber, grad(f)(x,y,z) = (d/dxf, d/dyf, d/dzf). No nosso caso esse vetor é exatamente
grad(f)(x,y,z) = 2(x,4y,-z).
Como queremos encontrar os pontos (x,y,z) no hiperbóloide cujo o espaço tangente é paralelo ao plano P ={(x,y,z); z = 5 -2x-2y} basta encontrar os pontos (x,y,z) tais que
grad(f)(x,y,z) . (w,s,t) = 0 *
para quais quer (w,s,t) em P. (O ponto na igualdade acima significa o produto escalar e a equação significa que estamos encontrando os pontos (x,y,z) em R^3 tais que o grad(f)(x,y,z) nestes pontos são perpendiculares ao plano P).
Observe que a equação * acima é equivalente a seguinte sistema de equações (pois é suficiente verificar a igualdade * acima em uma base de P. Neste caso escolhi a seguinte base: (1,0,3) e (0,1,3) para facilitar os cálculos).
x - 3z = 0
4y - 3z = 0
Porém queremos os pontos no hiperbóloide então devemos adicionar mais uma equação ao sistema (equação do hiperbóloide), ficando assim com o seguinte sistema:
x - 3z = 0
4y - 3z = 0
x^2 + 4y^2 -z^2 = 4
Resolvendo esse sistema (não linear) encontramos os pontos procurados. Por substitução direta temos que as soluções do sistema são:
Solução = { raizquadrada(16/41)(3,3/4,1), - raizquadrada(16/41)(3,3/4,1) }.
Espero que goste da solução e desculpe me não utilização adequada das fórmula matemáticas ( o editor aqui do Profes não aceita LateX o que nos limita no momento de criarmos textos matemáticos).
Para mais dúvidas e informações fique a vontade para entrar em contato.
