Derivadas lata cilindrica tg

Question

uma lata cilíndrica tem capacidade para 256? cm³ de um suco. O custo por centímetro quadrado para fazer a tampa e o fundo de metal é R$ 4,00 e o custo por centímetro quadrado para fazer o lado de papelão é R$ 2,00. Quais são as dimensões da lata mais barata ?

Patrício S. · Accepted Answer

Seja um cilindro de base circular de raio r e altura h, sua área da base é dada por $A_b=\pi r^2$ e sua área lateral dada por $A_l=2\pi r h$ . Como o custo da tampa e do fundo é de R$ 4,00/cm² e o custo da superfície lateral é de R$ 2,00/cm², então a função custo é

$C(r,h)=4\cdot (2\pi r^2)+2\cdot 2\pi r h$

$C(r,h)=8\pi r^2+4\pi r h$ .

Sabe-se que o volume é igual a 256? cm³ e que o volume é dado por $V=\pi r^2 h$ , portanto, temos

$h=\frac{256}{r^2}$ .

Note que escrevemos h em função de r, assim, reescrevemos a equação do custo:

$C(r)=8\pi r^2+\frac{1024\pi}{r}$ .

Para encontrarmos o valor mínimo ou máximo de C, devemos ter C'(r)=0 (ponto crítico) (para termos certeza se é máximo ou mínimo temos que fazer o teste da derivada segunda.)

$C'(r)=16\pi r-\frac{1024\pi}{r^2}=0$

$\Rightarrow 16\pi r^3 = 1024 \pi \Rightarrow r^3=64 \Rightarrow r=4 \text{cm}$

$h=\frac{256}{4^2}=16 \, \text{cm}$

Logo, as dimensões da lata para que se tenha o menor custo é raio de 4 cm e altura de 16 cm.

Derivadas lata cilindrica tg

Um professor já respondeu

Envie sua pergunta

Aprenda do seu jeito, no seu ritmo

Envie atividades, projetos ou exercícios para um professor resolver no seu prazo.