Ao considera as bases a= {(2, -4), (3,8)} e b = {(1,1), (0,2)} (a) Encontre a matriz de transição da base b para a. (b) Utilize a matriz obtida no item (a) para encontrar a matriz de transição da base a para b. (c) Mostre que o produto das matrizes encontradas nos itens (a) e (b) produz I2.
(a) desejamos obter um vetor na base {a}, então v({a}) = [T] v({b}). [T] é uma matriz que faz a troca de base.
como qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear de vetores de uma base então
v({a}) = x a_1 + y a_2 e também
v({b}) = z b_1 + w b_2.
Sendo {a} = {a_1,a_2} = {(2,-4),(3,8)} e {b} = {b_1,b_2} ={(1,1),(0,2)}.
Também podemos obter os vetores da base {b} como combinação linear dos elementos da base {a}, então
b_1 = (1,1) = a11 a_1 + a_12 a_2 = a11 (2,-4) + a12 (3,8) = (2 a11 + 3 a12, -4 a11 + 8 a12) -> (sistema linear) a11 = 2/7 e a12 = 3/14
b_1 = 2/7 a_1 + 3/14 a_2.
b_2 = (0,2) = a21 a_1 + a22 a_2 = a21 (2,-4) + a22 (3,8) = (2 a21 + 3 a22,-4a21 + 8 a22) -> (sistema linear) a21 = -3/14 e a22 = 1/7
b_2 = -3/14 a_1 + 1/7 a_2.
Então um vetor v escrito na base {b} é
v = x b_1 + y b_2 = z (2/7 a_1 + 3/14 a_2) + w (-3/14 a_1 + 1/7 a_2) = (2/7 z - 3/14 w) a_1 + (-3/14 z + 1/7 w) a_2 = x a_1 + y a_2
sendo que a matriz [T] que corresponde a tal mudança é
v_a = [T]_{b->a} v_b
[T] = | 2/7 -3/14 |
|-3/14 1/7 |
ou mais genéricamente
[T] = | a11 a12 |
| a21 a22 |
(b) Encontrando a matriz inversa [T]^{-1} entao obtemos a transformação que leva a base {a} -> {b}.
[T]^{-1} = | -28 -42 |
| -42 -56 |
(c) O produto das matrizes é
| 2/7 -3/14 | | -28 -42 | = - | (2/7x28 - 3/7x42) (2/7x42 - 3/14x56) | = -| (8 - 9) (12 - 12) | = | 1 0 |
| -3/14 1/7 | | -42 -56 | | (-3/14x28 + 1/7x42) (-3/7x42 + 1/7x56)| | (-6 + 6) (-9 + 8) | | 0 1 |.
