Equação diferencial ordinária (e.d.o)

Olá Igor, tudo bem? Espero que sim. Nessa questão veremos as Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem que são chamadas exatas. Primeiro, vamos nos lembrar da definição de uma Equação Exata. Uma E.D.O. da forma: M(x,y).dx+N(x,y).dy=0, e se diz exata quando del(M)/dely = del(N)/delx (onde del significa a derivada parcial da função dada, em relação às variáveis y e x, respectivamente).

A ideia do problema é transformar a equação para uma E.D.O. dessa forma. Temos:

(x^4+y^4)dx + (4xy³+3y³)dy = 0 (Já está na forma que queremos)

Para mostrar que ela é exata, vamos calcular as derivadas parciais:

del(M)/dely=del(x^4+y^4)/dely=0+4.y³=4.y³ (Aqui x é tratado como constanet e logo del(x^4)/dely=0)

del(N)/delx=del(4.x.y³+3.y³)/delx=4.1.y³+0=4.y³ (Aqui y é tratado como constante, logo del(3.y³)/delx=0 também)

Como del(M)/dely = del(N)/delx, segue que a E.D.O. em questão é exata. Para resolvê-la, vamos usar o fato de que existe uma função F(x,y) tal que

del(F)/delx=M(x,y)

Para obter F(x,y), vamos integrar os dois lados em relação à x. Temos:

Integral [del(F)/delx]dx=Integral [M(x,y)]dx = Integral [x^4+y^4] dx = x^5/5 + y^4.x + g(y) (Essa constante g(y) surge, pois temos uma integral em relação à x) => F(x,y)=x^5/5+y^4.x+g(y) (*)

Logo:

del(F)/dely=N(x,y) => del(x^5/5+y^4.x+g(y))/dely=4.y³.x+g'(y)=N(x,y) => 4.x.y³+3.y³=4.x.y³+g'(y) => g'(y)=3.y³ => d(g(y))/dy=3.y³ => g(y)=Integral(3.y³)dy= 3.y^4 / 4 + c

Substituindo g(y) em (*), vem: Portanto: F(x,y)=x^5/5+y^4.x+3.y^4/4+c = K => x^5/5+y^4.x+3.y^4/4 = C

Espero ter ajudado! Bons estudos!