Considere um sistema de coordenadas S no plano coordenado obtido pela rotação do sistema usual por um ângulo de 120 graus, no sentido horário. Se no sistema S as coordenadas do ponto P são (-1, 2), então as coordenadas de P no sistema usual são:
a) raiz 3 - 1/2 , raiz 3/2 + 1
b) raiz 3 + 1/2 , raiz 3/2 - 1
c) - raiz 3 - 1/2 , - raiz 3/2 +1
d) raiz 3/2 + 1 , - raiz 3 + 1/2
e) - raiz 3/2 - 1 , raiz 3 - 1/2
Olá, Mateus.
O exercício consiste em rotacionar o ponto (-1,2) em 120º no sentido horário.
Existe uma maneira relativamente simples de rotacionar pontos no plano, a partir de uma multiplicação A.B de matrizes, na qual:
A é a matriz de rotação. Como estamos girando no sentido horário, A é dada por:
| cosX | senX |
| -senX | cosX |
(X é o ângulo de rotação)
B é a matriz das coordenadas do ponto, dada, nesse caso, por:
| -1 |
| 2 |
Agora basta utilizar o ângulo de 120° na nossa matriz A e o problema estará resolvido. Como precisamos do seno e do cosseno desse ângulo, lembremos:
sen(120°)=sen(180-120°)=sen(60°)
cos(120°)=-cos(180°-120°)=-cos(60°)
Logo:
| cos120° | sen120° |
| -sen120° | cos120° |
=
| -1/2 | V3/2 |
| -V3/2 | -1/2 |
(Estou usando V como raiz quadrada, entenda "V3" como "raiz de 3")
Se essa é a matriz A, multipliquemos isto pela matriz B:
| -1 |
| 2 |
O resultado será a matriz:
| V3+(1/2) |
| (V3/2)-1 |
Essa é a matriz das coordenadas do ponto P (já rotacionado) no sistema de coordenadas cartesianas usual. A segunda alternativa é a correta.
Espero ter ajudado. Bons estudos sempre!
