Considere um sistema de coordenadas S no plano coordenado obtido pela rotação do sistema usual por um ângulo de 120 graus, no sentido horário. Se no sistema S as coordenadas do ponto P são (1, -2), então as coordenadas de P no sistema usual são:
A) raiz 3 - 1/2 , raiz 3/2 + 1
B) - raiz 3 - 1/2 , - raiz 3/2 + 1
C) raiz 3/2 + 1 , - raiz 3 + 1/2
D) - raiz 3/2 -1 , raiz 3 - 1/2
Olá, Cristiano. Imagine o plano ortogonal usual com o ponto (1,-2) marcado nele.
Agora imagine esse plano, com o ponto lá marcado, sendo girado no sentido horário em um ângulo de 120°. Aqui está nosso ponto P, o antigo (1,-2) agora rotacionado.
Como nós não estamos interessados em girar os eixos, mas apenas em encontrar as coordenadas de P no plano usual, basta deslocar o ponto.
Existe uma maneira relativamente simples de rotacionar pontos no plano. Essa maneira consiste numa multiplicação A.B de matrizes, na qual:
A é a matriz de rotação, dada por:
| cosX | -senX |
| senX | cosX |
(X é o ângulo de rotação no sentido anti-horário)
B é a matriz das coordenadas do ponto, dada, nesse caso, por:
| 1 |
| -2 |
Agora façamos um ajuste: O texto nos fala de um giro de 120° no sentido horário. Porém, a matriz de rotação acima trabalha com deslocamentos em sentido anti-horário. O que fazer?
É simples: Basta perceber que o fim de um giro de 120º no sentido horário é o mesmo fim de um giro de 240° (que é 360°-120°) no sentido anti-horário. Notou?
Agora basta utilizar o ângulo de 240° na nossa matriz e o problema estará resolvido. Como precisamos do seno e do cosseno desse ângulo, lembremos:
sen(240°)=-sen(240°-180°)=-sen(60°)
cos(240°)=-cos(240°-180°)=-cos(60°)
Logo:
| cos240° | -sen240° |
| sen240° | cos240° |
=
| -1/2 | V3/2 |
| -V3/2 | -1/2 |
(Estou usando V como raiz quadrada, entenda "V3" como "raiz de 3")
Se essa é a matriz A, multipliquemos isto pela matriz B:
| 1 |
| -2 |
O resultado será a matriz:
| -V3-(1/2) |
| -(V3/2)+1 |
Essa é a matriz das coordenadas do ponto P (já rotacionado) no sistema de coordenadas cartesianas usual. A segunda alternativa é a correta.
Espero ter ajudado. Bons estudos sempre!
