O menor número n com essa propriedade é:
b.9
Olá Cristina, tudo bem? A resposta é letra c. 33. Segue abaixo a solução detalhada.
Assuma que existe uma tal subdivisão do conjunto X = {1,...,99} em n subconjuntos, A_1,...,A_n, satisfazendo as propriedades dadas no enunciado do problema.
Observe que existem 33 números no conjunto X que são divisiveis por 3. Dito isso, note que não podem existir dois números divisiveis por 3 no mesmo conjunto A_i, para algum i=1,...,n, pois caso contrário a soma também seria divisivel por 3. Como cada elemento divisivel por 3 precisa estar em algum dos conjuntos A_i temos necessariamente que
n >=33.
Agora para concluir basta contruir 33 conjuntos, A_1, A_2,..., A_33 que satisfazem as propriedades desejadas.
Para tal coloque em cada A_i um (único) número divisivel por 3. No conjunto A_1 (o qual já tem um número divisivel por 3) coloque todos os números que deixam resto 1 na divisão por 3 (observe que existem 33 tais números e assim o conjunto A_1 tem exatamente 34 elementos). Agora, em cada conjunto A_2,..., A_33, coloque um número que deixa resto 2 na divisão por 3. Existem 33 números que deixam resto 2 na divisão por 3 mas apenas usamos 32 deles, para concluir basta colocar o número que falta (o qual deixa resta 2 na divisão por 3) no conjunto A_33.
Note que dessa forma cada número no conjunto X está em algum dos A_i. A cardinalidade de cada A_i é maior ou igual a dois. Se tomarmos dois elementos x e y no mesmo A_i então a soma não é divisivel por 3 (não é dificil verificar, basta analisar os casos e os possiveis restos na divisão por 3. Por exemplo, se x, y estão em A_1, então ou x, y deixam resto 1 na divisão divisão por 3 e nesse caso x+y deixa resto 2 na divisão por 3 ou x deixa resto 1 na divisão por 3 e y deixa resto 0 na divisão por 3 e nesse caso a soma deixa resto 1 na divisão por 3). Isso conclui a prova.
Espero que goste da solução!
PS.: A solução ficaria bem mais elegante se usar a notação de congruência modulo 3, mas não sei se faz parte da sua base então achei melhor na usar.
Olá, Cristina!!
Pelas minha análise de resultados, eu cheguei no resultado: 33.
Porém, não vou desenvolver a análise, pois o Prof. Jamerson já a fez. (Prof. Jamerson, assisti ao vivo a sua defesa de doutorado no IMPA, através do youtube!! rsrs Parabéns!! Sucesso!!)
Bons estudos!!
=D
