Dado a matriz quadrada A de ordem 2, dada por ( cos25° sen65°)
( sen120° cos390°) . Calcule o valor do determinante da matriz A.
obs: sem valores de sen e cos aproximados na calculadora.
Olá, Guilherme!
Considerando a matriz de quadrada de ordem 2:
A = [cos(25º) sin(65º); sin(120º) cos(390º)]
Obsevação:
a11=cos(25º) {linha 1 coluna 1}
a12=sin(65º) {linha 1 coluna 2}
a21=sin(120º) {linha 2 coluna 1}
a22=cos(390º) {linha 2 coluna 2}
Ok?
Antes de resolvermos o determinante da matriz A, lembremos que:
Os ângulos de 25º e 65º são ângulos complementares!
O ângulo de 390º corresponde a 360º + 30º. Ou seja, podemos simplificar 390º para 30º.
O ângulo de 120º corresponde a 120º = 180º - 60º. Ou seja, podemos simplificar 120º para 60º.
Então, os ângulos de 30º (referente ao 390º) e 60º (referente ao 60º) são ângulos complementares!
Dessa forma, cos(25º)=sin(65º)
E também, sin(120º)=sin(60) e cos(390º)=cos(30º). Dessa forma, sin(120º)=cos(390º)
Substituindo na matriz, temos:
A = [cos(25º) sin(65º); sin(120º) cos(390º)]
A = [sin(65º) sin(65º); cos(390º) cos(390º)]
Calculando o determinante da matriz A, tem-se:
det(A) = |sin(65º) sin(65º); cos(390º) cos(390º)|
det(A) = {sin(65º)*cos(390º)} - {sin(65º)*cos(390º)}
det(A) = 0
E é isso! Bons estudos!!
Observação2: Uma alternativa para confirmar as igualdades abaixo (para ângulos complementares), é representar o triângulo retângulo e os respectivos ângulos.
cos(25º)=sin(65º) EQ (01)
sin(120º)=cos(390º) => sin(60º)=cos(30º) EQ (02)
Para a EQ (01), considere o triângulo ABC, com ângulo reto (90º) em A. (Faça o desenho do triângulo retângulo)
b = AB (cateto 1)
c = AC (cateto 2)
a = BC (hipotenusa)
Lembrando que ângulo A é reto (90º)! Supondo que ângulo B=25º.
Então, cos(25º)=(Cat. Adj.)/Hipotenusa => cos(25º)=(cateto 1)/hipotenusa => cos(25º)=b/a EQ (03)
Como a soma dos ângulos de um triângulo deve ser 180º, então, ângulo C=65º.
Logo, sin(65º)=(Cat. Opo.)/Hipotenusa => sin(65º)=(cateto 1)/hipotenusa => sin(65º)=b/a EQ (04)
Portanto, percebemos por EQ (03) e EQ (04) que cos(25º) = b/a = sin(65º), ou seja, cos(25º)=sin(65º)
Olá Guilherme,
para o calculo do determinante desta matriz nos não precisaremos dos valores do seno e cosseno.
Basta lembrarmos de algumas propriedades de trigonometria:
i) Seno e cosseno de ângulos complementares (soma igual a 90º) são iguais (25º + 65º = 90º). Assim cos25º = sen65º
ii) Ângulos maiores que 360º (um volta completa) basta subtrair e considerar o valor restante (390º - 360º = 30º). Assim cos390º = cos30º
iii) De forma análogo podemos pensar no ângulo de 120º (180º - 60º). Assim sen120º = sen60º
Logo, como 30º e 60º são complementares, cos30º = sen60º
Para ficar mais claro as igualdade vamos substituir na matriz:
cos25º = sen65º = a
cos30º = sen60º = b
| a a |
| b b |
Para calcular o determinante de uma matriz 2x2 basta subtrair os produtos da diagonal principal e diagonal segundaria.
Det = ab - ab = 0
Se gostou marque como melhor resposta, me ajuda muito...
Espero que tenha ajudado,
estou a disposição.
Fique bem!
