Ajuda com questão de cálculo

Professor Evandro E.

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Respondeu há 3 anos

Olá, Sousa! 

Questão 1 

Deve-se determinar a equação de uma reta com as seguintes características: 

1) perpendicular à reta 3y + x = 6   ou 

   3y = 6 - x   =>   y = (6 - x)/3   =>   y = 2 - x/3 

2) tangente ao gráfico de f(x) = x^2 - 4x 

Parar a condição 2, a derivada da função f(x) representa a tangente. Então: 

f'(x) = 2x - 4 

Para a condição 1, a derivada da função também representa a tangente. Logo, tem-se: 

y' = 0 - (1/3)   =>   y' = (-1/3) 

Porém, a condição exige que a reta que queremos encontrar deve ser perpendicular a esta reta, cuja tangente, ou inclinação, vale (-1/3). 

Para ser perpendicular, temos que: 

coef. = - 1/((-1/3))   =>   coef. = 3   (coeficiente da reta que será perpendicular à reta 3y + x = 6) 

Dessa forma, a partir da condição 2, obtivemos que a tangente ao gráfico de f(x), ou seja, a derivada, foi: 

f'(x) = 2x - 4   =>   como coef. = 3   =>   f'(x) = 3 = 2x - 4   =>   2x - 4 = 3   =>   2x = 3 + 4   =>   2x = 7   => 

=>   x = 7/2   (este é o valor de x de um ponto da equação que queremos determinar) 

Substituindo x = 7/2 na função: 

f(x) = x^2 - 4x   =>   f(7/2) = (7/2)^2 - 4*(7/2)   =>   f(7/2) = 49/4 - 28/2 = (49 - 56)/4 = -7/4   =>   y = -7/4

Portanto, as características da reta são: 

i) coeficiente: 3 

ii) x = 7/2 e y = -7/4 

Para a eq. da reta, tem-se: y = a*x + b 

Com a = 3. Para x = 7/2 e y = -7/4, tem-se: 

y = a*x + b   =>   -7/4 = 3*(7/2) + b   =>  -7/4 = 21/2 + b   =>   -7/4 - 21/2 = b   =>   b = (-7 - 42)/4 = -49/4   => b = -49/4 

Por fim, a equação da reta, de acordo com as especificações, é: 

y = 3*x - 49/4 

Bons estudos!!