Aproximação de um valor

Boa tarde Laudy. Primeiramente, vamos lembrar a regra da série de Taylor, a função é a raiz cúbica: f(x) = x^(1/3) (Vou colocar raiz cúbica dessa forma, para dar para escrever por aqui) de acordo com o polinômio de Taylor, f(x) em torno de um ponto a, pode ser escrito como: f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)²*1/(2!) + f"'(a)*(x-a)³*1/(3!) +... Como quer o polinômio apenas para o grau 2, temos: f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)²*1/(2!) Precisamos então saber f'(x) e f''(x) para a primeira parte: f'(x) = (1/3)*x^(1/3 -1) = (1/3)*x^(-2/3) f"(x) = (1/3)*(-2/3)*x^(-2/3 - 1) = (-2/9)*x^(-5/3) Agora que escrevemos sabemos as funções, o verdadeiro desafio da questão é escolher o valor de a. Perceba que tanto f(x) quanto f'(x) e f''(x) envolvem raizes cubicas, pois: x^(-2/3) = (x^(1/3))^(-2) e x^(-5/3)=(x^(1/3))^(-5) Logo é inteligente escolher um valor de a que seja próximo de 28 e cuja raiz cúbica seja um valor inteiro. Um número que satisfaz essas condições é a=27. Assim temos: f(a) = 27^(1/3) = 3 f'(a) = (1/3)*3^(-2)=(1/3)*(1/9)=1/27 = 3^(-3) f"(a) = (-2/9)*3^(-5) = (-2/9)*(1/243) = -2*3^(-7) Para x = 28 f(28) = f(27) + f'(27)*(28-27) +f''(27)*(28-27)²*(1/2) f(28) = 3 + 1/27 -1/2187 f(28) = 3 + 0,037 - 0,000457 f(28) = 3,0365 Para estimar o erro, basta calcular quanto seria o valor do termo do próximo grau do polinômio, ou seja: erro =(1/6)* f'"(27)*(1)^3 f'"(27) = (10/27)*3^(-8) = 0,0000564 erro = f'"(27)/6 = 0,00000941 Perceba que o erro é bem pequeno! Caso haja alguma dúvida, fique a vontade para me mandar mensagens. Talvez a formatação deixe meio confuso. Abraços e bons estudos!