Boa noite. Alguém conseguiria por favor me ajudar neste exercício?
Calcule a área de rotação do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y = 5 + x^2
y = 15 - 3x
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Ponha f(x)=15-3x e g(x)=x^2+5.
Vamos primeiramente encontrar os pontos tais que f(x)=g(x), ou seja, os valores de x tais que 15-3x=x^2+5. Pela fórmula de báscara, obtemos x=-5 e x=2.
É fácil ver (usando derivadas ou fazendo um gráfico simples, por exemplo) que f(x)>g(x) para todo x em [-5, 2]. Desse modo, a área de revolução do sólido limitado por f e g será a soma das áreas dos sólidos formados pela a rotação de cada gráfico com o eixo x, ou seja, temos o seguinte.
Assim vemos a necessidade de conhecer a integral de x^2*sqrt(4x^2+1) e sqrt(4x^2+1), iremos calcular a primeira delas agora.
Fazendo x=tan(u)/2 nós temos as seguintes igualdades. A outra integral é feita de forma análoga.
Por fim, encontramos que a integral desejada é aproximadamente igual a 5011,65.
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