Boa noite pessoal, alguém me ajudar na questão?

Cálculo Cálculo III integral de linha Cálculo Diferencial e Integral III Cálculo Diferencial Ensino superior Integral Ensino Superior (Cálculo Diferencial e Integral)

Dentre as alternativas a seguir, qual apresenta o valor da integral de linha ?c F.dr do campo vetorial F(x,y)= xy i+ 3y² j ao longo da curva da equação: r(t)= 11t^4 i+ t³ j, com 0 ? t ? 1:

A- 60

B- 45

C- 75

D- 125

E- 25

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Igor perguntou há 4 anos

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Professor David C.
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Dentre as alternativas a seguir, qual apresenta o valor da integral de linha

\int_C F\cdot d\vec{r}

do campo vetorial

F(x,y)=xy\vec{i} + 3y^2 \vec{j}

ao longo da curva da equação:

\vec{r}(t) = 11t^4 \vec{i}+t^3 \vec{j}

com

0\leq t \leq 1

Solução

Considerando a curva lisa

C: \vec{r}(t) = 11t^4 \vec{i} + t^3\vec{j}

derivando

\vec{r}\,' (t) = 44t^3 \vec{i} + 3t^2 \vec{j}

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\int_C F\cdot d\vec{r} = \int_0^1 F(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}\,'(t) dt

\int_C F\cdot d\vec{r} = \int_0^1 ((11t^4)(t^3) \vec{i} + 3(t^3)^2\vec{j}  )\cdot (44t^3 \vec{i} + 3t^2 \vec{j}) dt

\int_C F\cdot d\vec{r} = \int_0^1 (11t^7\vec{i} + 3t^6\vec{j}) \cdot (44t^3 \vec{i} + 3t^2 \vec{j}) dt

\int_C F\cdot d\vec{r} = \int_0^1 (484t^{10} + 9t^8) dt

\int_C F\cdot d\vec{r} = \left[44t^{11} + t^9 \right]_0^1 = (44+1)-(0+0) = 45

 

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