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Cálculo Cálculo Diferencial Ensino Superior (Cálculo Diferencial e Integral) Cálculo III integral de linha Curso superior Integral

A integral de linha ?c (x³/y)ds em que C, é o arco da curva x=t; y=t²/2, para 0?t?2 vale, aproximadamente:

A- 8,4

B- 6,8

C- 12,3

D- 4,6

E- 10,2

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Silvaa perguntou há 4 anos

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Professor David C.
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Respondeu há 4 anos
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A integral de linha 

\int_C \dfrac{x^3}{y} ds

em que C, é o arco da curva

C:\begin{cases} x= t;\\ y=\dfrac{t^2}{2} \end{cases}, \, 0\leq t \leq 2

vale, aproximadamente:

Solução:

Considere o campo escalar

f(x,y)=\dfrac{x^3}{y}

Vamos a calcular a integral de linha sobre a curva C parametrizada por

C:\begin{cases} x= t;\\ y=\dfrac{t^2}{2} \end{cases}, \, 0\leq t \leq 2

Então

\vec{r}(t) = (t,\frac{t^2}{2}) \rightarrow \vec{r}\,'(t) = (1,t) \rightarrow \vert \vec{r}\,'(t) \vert = \sqrt{1+t^2}

Logo

\int_C \dfrac{x^3}{y} ds = \int_0^2 \dfrac{(t)^3}{\frac{t^2}{2}} \sqrt{1+t^2} dt

\int_C \dfrac{x^3}{y} ds = \int_0^2 2t \sqrt{1+t^2} dt = \left[ \dfrac{2}{3} \sqrt{1+t^2}^3 \right]_0^2

\int_C \dfrac{x^3}{y} ds = \dfrac{2}{3}\left(5\sqrt{5}-1 \right) \approx 6,8

 

 

Para mais informação:
asesor.matematica.1990@gmail.com
Whatsapp: (11) 994414817

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Professor Felipe P.
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Respondeu há 4 anos

\int _a^bf\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right).\:\left||\sigma'\left(t\right)\right||dt

Como

x\left(t\right)=t\:;\:y\left(t\right)\:=\:\frac{t^2}{2}

f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\:=\:\left(\frac{t^3}{\frac{t^2}{2}}\right)=2t

\left\sigma\left(t\right)\right=  \left(t\:,\:\frac{t}{2}^2\right)   ==>   \left\sigma'\left(t\right)\right=\left(1\:,\:t\right)

\left||\sigma'\left(t\right)\right||=\sqrt{1+t^2}

0\le t\le 2\:==>\:a=0\:e\:b=2

Logo, a integral será:

\int _0^22t\left(\sqrt{1+t^2}\right)\:dt

Resolvendo temos:

\int \:2t\sqrt{1+t^2}dt=\frac{2}{3}\left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}+k

logo,

\int _0^22t\sqrt{1+t^2}dt=2\left(\frac{5\sqrt{5}}{3}-\frac{1}{3}\right)\approx6.78689...\approx6.8

Letra B

Espero ter ajudado.

 

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Silvaa J.
Respondeu há 4 anos

E o ds?

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Silvaa J.
Respondeu há 4 anos

Na questão não é preciso usar a formula para encontrar o ds?

 

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