Calcule integral

Question

Definimos integral de superfície de uma campo escalar contínuo f(x,y,z) sobre uma superfície S, parametrizada por phi (u,v), com (u,v) pertence D da seguinte maneira:

Integral duplade superficie fdS= Integral deupla de superficie f(x,y,z) dS = Integral dupla D (phi (u,v)) ll partial diferential phi/partial diferential u X partial diferential phi/partial diferential v ll dudv

Onde ll partial diferential phi/partial diferential u x partial diferential phi/partial diferential v ll dudv é elemento de área.

Baseado na informação acima:

Calcule Integral dupla da superficie xydS onde S é parametrizada por phi (u.v)=(u-v,u+v,2u+v+1) com (u.v) pertence D; 0<u<1 e 0<v<u.

Bruno T. · Accepted Answer

Boa noite Darck:Temos então (integral dupla)xyds em D onde a parametrização de S é R=(u-v,u+v,2u+v+1)Então vamos começar reescrevendo a integral dada  com a parametrização R:x=u-v e y=u+v(integral dupla)xyds =(integral dupla)(u-v)(u+v)dsAgora vamos calcular ds que é dado pela fórmula ds=||(dR/du)X(dR/dv)||dudv,sendo dR/du e dR/dv as derivadas parcias de R em relação a u e a v respectivamente:Calculando primeiro  dR/du=(1,1,2) e  dR/dv =(-1,1,1)Agora vamos calcular o produto vetorial (dR/du)X(dR/dv)=(1,1,2)X(-1,1,1)=(-1,-3,2)Logo temos que||(dR/du)X(dR/dv)||= ||(-1,-3,2)|| = sqrt(1^2+3^2+2^2)=sqrt(14)Voltando ao cálculo de (integral dupla)(u-v)(u+v)ds = (integral dupla)(u-v)(u+v)sqrt(14)dudv, com u=(0,1) e v=(0,u)=sqrt(14) (integral dupla)(u-v)(u+v)dudv=sqrt(14) (integral dupla)u^2-v^2dudvUsando o teorema de fubini,vamos resolver a integral de dentro primeiro considerando u uma constante:=sqrt(14)(integral)[u^2v-(v^3)/3]du ,agora aplicando o intervalo v=(0,u),temos: =sqrt(14)(integral)(2u^3)/3du Agora vamos resolver essa integral simples:=(2?14 )/3(integral)u^3du =(2sqrt(14))/3[u^4/4] aplicando o intervalo u=(0,1) =(2sqrt(14) )/3(1/4 -0/4)=(2sqrt(14))/12=sqrt(14) /6Se surgir alguma dúvida estou a disposição!!!Atenciosamente.

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