A densidade de uma distribuição de massa varia em relação a uma origem dada segundo à fórmula
https://prnt.sc/u5u2k5 ( imagem da formula) Determine a razão de variação da densidade no ponto (1, 2) na direção que forma um ângulo de 45º,no sentido anti-horário, com eixo positivo dos x. Em que direção a razão de variação é máxima?
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A densidade de uma distribuição de massa varia em relação a uma origem dada segundo à fórmula
rho = 4 / raiz(x2+y2+2)
Solução.
No ponto (1,2):
rho(1,2) = 4/ raiz(1+4+4) = 4/ raiz(9) = 4/3
Primeramente, calculamos o gradiente de rho:
drho/dx = - (x* rho3(x,y) ) /16
drho/dy = - (y* rho3(x,y) )/16
Então:
Grad(rho)(x,y) = (- (x* rho3(x,y) ) /16, - (y* rho3(x,y) )/16 )
Logo no ponto (1,2):
G = Grad(rho)(1,2) = (- 4/27, - 8/27 )
1. Razão de variação da densidade no ponto (1, 2) na direção que forma um ângulo de 45º,no sentido anti-horário, com eixo positivo dos x.
Seja u o vetor que forma um ângulo de 45º,no sentido anti-horário, com eixo X positivo:
u = (cos(45°), sin(45°) ) = (raiz(2)/2, raiz(2)/2)
Logo:
D rho_{u} (1,2) = G * (raiz(2)/2, raiz(2)/2) = (- 4/27, - 8/27 ) (raiz(2)/2, raiz(2)/2) = -2raiz(2)/27 - 4raiz(2)/27
D rho_{u} (1,2) =-6raiz(2)/27 = -2raiz(2)/9
Resposta: A razão de variação da densidade no ponto (1, 2) na direção u é -2*raiz(2)/9
2. Em que direção a razão de variação é máxima?
Seja u o vetor unitario no sentido de G:
|G| = raiz( (-4/27)2+ (-8/27)2 ) = raiz( 16/729 + 64/729 ) = raiz( 80/729 ) =4*raiz(5)/27
Logo
u = G/|G| = (- 4/27, - 8/27 ) / (4*raiz(5)/27) = ( -raiz(5)/5, 2*raiz(5)/5 )
Resposta: A razão de variação é máxima na direção ( -raiz(5)/5, 2*raiz(5)/5 ).
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