Cálculo de derivadas parciais

Cálculo Derivadas Parciais Derivadas

calcule as derivadas parciais Gx(x,y) e Gy(x,y).

 

G(x,y) = x +y / raiz de y^2 - x^2  

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Thiago perguntou há 3 anos

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Professor Leonardo A.
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Caro Thiago,

Seja a função

G(x,y) = (x+y)/[ (y^2 - x^2)^(1/2) ]

na qual podemos identificar duas funções: f(x,y) = x + y e h(x,y) = (y^2 - x^2)^(1/2). Assim, podemos dizer que a função G(x,y) = f(x,y)/h(x,y).

Para encontrarmos as derivadas parciais, podemos usar o "truque" de supor que as outras variáveis ficam constantes quando derivadas em relação à variável derivante. Em outras palavras, no exemplo acima, quando derivármos na variável "x", nosso y será considerado constante, ao passo que quando derivarmos em y, nosso x será constante. Assim, teremos:

- Gx(x,y) =?G(x,y)/?x = [ ?f(x,y)/?x * h(x,y) - f(x,y) * ?g(x,y)/?x ]/( g(x,y)^2) = [ 1*(y^2 - x^2)^(1/2) + (x+y)*x/(y^2 - x^2)^(1/2) ]/ (y^2 - x^2) , na qual, com algumas manipulações matemáticas, chegamos em:

Gx(x,y) =?G(x,y)/?x = -y/[(x-y)*(y^2 - x^2)^(1/2)]

- Analogamente à variável y, teremos que:

Gy(x,y) =?G(x,y)/?y = x/[(x-y)*(y^2 - x^2)^(1/2)]

 

*Obs: Os pontos de interrogação são, na verdade, as derivadas parciais (os "d's" tortos).

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