Calculo iii - cúpula parabolóide

Question

Uma c&uacute;pula parabol&oacute;ide com eixo de simetria coincidente com o eixo z &eacute; descrita pela fun&ccedil;&atilde;o z=4-x&sup2;-y&sup2; e repousa sobre um plano que chamaremos de xy, como mostra a figura. https://drive.google.com/open?id=1o3-QutfNA7mPDIhF2zRjvy7czkpSP5w-  O engenheiro que projeto a c&uacute;pula deseja estimar o volume total interno da c&uacute;pula. Para isso, ele realiza uma transforma&ccedil;&atilde;o de coordenadas retangulares para cil&iacute;ndricas, assim facilita a resolu&ccedil;&atilde;o do problema. Que valor ele deve encontrar?     a) 2pi b) 3pi c) 6pi d) pi e) 8pi

Nilo M. · Answer

Resposta E. O volume da cúpula é dado pela integral tripla sobre a região sólida limitada acima por ela e abaixo pelo plano xy. No plano xy, o paraboloide z=4-x²-y² descreve uma circunferência de centro na origem e raio igual a 2 (basta fazer z=0 para verificar) e a parte superior da cúpula é definida pela superfície do paraboloide. Convertendo para coordenadas cilíndricas temos que z=4-r², em que r=x²+y². Asim, o volume é dado pela integral tripla de 1dV=dz rdr dt em que z varia de 0 até (4-r²); r varia de 0 a 2 e t varia de o até 2.pi (coordenadas cilíndricas). O resultado desta integral tripla é 8pi.

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