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Calculo iii

Cálculo
I) Dada a função definida por f(x,y)=6x-4y-x^2-2y^2 determine se f tem algum extremo relativo. II) Enuncie o teste da derivada segunda para funções de duas variáveis e aplique o teste numa função para exemplificá-lo.
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Joao Teixeira perguntou há 5 anos

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Professor Lucio M.
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Respondeu há 5 anos
O candidato a extremo e o ponto (3,1). De fato, fazendo as derivadas parciais relativa a x, 6-2x=0, e a y, -4-4y=0 e resolvendo o sistema, obtemos o ponto (3,1). Como a forma quadratica Hessiana no ponto, associada a funcao, dada por H(x,y)=-2x^2-4y^2<0 para todo (x,y) diferente de (0,0), e claramente negtiva definida, podemos dizer que o ponto e de maximo local. Temos o seguinte teorema (teste da derivada segunda). Para um ponto critico, se a forma quadratica Hesisana for positiva (negativa) neste ponto, entao o ponto e de minimo (maximo). se forma quadratica Hessiana for indefinida, entao o ponto nao e de maximo nem de minimo local. Considere f(x,y)=x^2-y^2. O ponto (0,0) e um ponto critico, contudo o ponto nao e de maximo nem de minimo pois a forma quadratica Hessiana H(x,y)=2(x^2-y^2). Vemos que H>(<)0 para (2,1) e (1,2) respectivamente.

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