Seja f,g: R² ? R, definidas por f(x,y) = xy e g(x,y) = x² + y². Encontre o valor máximo de f, restrita a g(x,y) ? 2. (Lembre-se de encontrar a condição de 2ª ordem).
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Sejam f,g: R² -> R, definidas por f(x,y) = xy e g(x,y) = x² + y².
Encontre o valor máximo de f, restrita a g(x,y) = 2. (Acho que o problema é assim)
Solução.
Considere a curva:
r(t) = (raiz(2) cos(t), raiz(2) sin(t) ), com 0<= t <= 2pi
Logo f(t)=f(x(t),y(t)) é
f(t) = (raiz(2) cos(t) ) (raiz(2) sin(t) ) = 2 sin(t) cos(t)
f(t) = sin (2t), com 0<= t <= 2pi
Derivando e resolvendo:
f'(t) = 2 cos (2t)= 0
então no intervalo [0, 2pi]: t = pi/4; t = 3pi/4, obtemos assim os pontos
A = (1, 1)
B = (-1,1)
Note que:
f''(t) = -4 sin(2t)
Em A: f''(pi/4) = -4; f(pi/4) = 1
Em B: f''(3pi/4) = 4; f(pi/4) = -1
Logo A é um máximo local de f e B é um mínimo local de f.
Dado que em [0, 2pi]: f(t) = sin(2t) está entre -1 e 1: A é um máximo global de f e B é um mínimo global de f
Portanto, o valor máximo de f restrito a g(x,y)=2 é f(A) = 1 e o valor mínimo de f restrito a g(x,y)=2 é f(B)=-1.
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asesor.matematica.1990@gmail.com
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