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Calculo, socorro e verdadeiro ou falso as afirmações abaixi

Cálculo Cálculo I Cálculo II Avançado Ensino Superior (Cálculo Diferencial e Integral)

Se f:[0,1]?[0,1] é uma função contínua então o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de f em torno do eixo Ox é, no mínimo, o volume de um cone circular reto de altura 1 e raio 3–?. --------------------------------------------- Se f:R?R é uma função contínua e par (f(?x)=f(x)), então somente uma das primitivas de f é ímpar. ---------------------------------------- Se f:[1,4]?R é derivável com derivada contínua e x?1?(f?(x))2?x2?1, para todo x?[1,4]. Então, o comprimento do gráfico de f é, no máximo, 152. ------------------------------------------ Se f:R?R é uma função contínua e ímpar (f(?x)=?f(x)), então somente uma das primitivas de f é par. ------------------------------------ Se f:[a,b]?R é contínua então existe c?]a,b[ tal que ?baf(x)dx=f(c)(b?a). ---------------------------------------- Existe alguma função contínua f:[0,1]?R, cujo gráfico está entre os gráficos de g(x)=2x e h(x)=3x2, f?g, f?h, tal que ?10f(x)dx=1. -------------------------------- Se f,g:[a,b]?R são contínuas e ?bag(x)dx=0 então ?baf(x)g(x)dx=0

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Joab Alves perguntou há 4 anos

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Professor Saul L.
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Professor David C.
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São muitas questões juntas:

1. Se

f:[0,1]\to [0,1]

é uma função contínua, então o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de f em torno do eixo Ox é, no mínimo, o volume de um cone circular reto de altura 1 e raio raiz de 3?

Solução:

Calculamos o volume obtido por rotação do gráfico de f em torno ao eixo OX:

V=\pi \int_{0}^{1} [f(x)]^2 dx

Note que se 0 <= x <= 1 -> 0 <= f(x) <= 1

0\leq [f(x)]^2 \leq 1 \Longrightarrow \int_0^{1}0 dx \leq \int_0^{1}[f(x)]^2 dx \leq \int_0^{1}1 dx

0\leq \int_0^{1}[f(x)]^2 dx \leq 1 \Longrightarrow 0\leq \pi \int_0^{1}[f(x)]^2 dx \leq \pi \Longrightarrow 0 \leq V \leq \pi

Por outro lado, o volume do cone circular reto de altura 1 e raio raiz de 3 é:

V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{3})^2(1) = \frac{1}{3}\pi (3)(1) = \pi

Portanto:

0\leq V \leq V_{cone}

Resposta: Verdadeiro

 

2. Se

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}

é uma função contínua e par:

f(-x)=f(x), \, \forall x\in \mathbb{R}

Então somente uma das primitivas de f é ímpar.

Solução:

Seja F uma primitiva de f, isto é

\dfrac{d}{dx}\left(F(x)\right)= f(x)

Pela regra da cadeia, se g(x) = -x

\dfrac{d}{dx}(F(g(x)) = \left[ \dfrac{d}{dx} (F(x)) \right]_{g(x)}\cdot \dfrac{d}{dx}(g(x)) = \left[ f(x) \right]_{-x}\cdot \dfrac{d}{dx}(-x) = -f(-x)

\dfrac{d}{dx}(F(-x)) = -f(x) = -\dfrac{d}{dx}(F(x)) = \dfrac{d}{dx}(-F(x))

Dado que F(-x) e -F(x) tem a mesmas derivadas, então elas diferenciam-se por uma constante:

F(-x)=-F(x)+C

Em particular:

F(0)=-F(0)+C \Longrightarrow 2F(0)=C

Temos:

F(-x)=-F(x)+2F(0), \forall x\in \mathbb{R}

Logo, para que a primitiva F seja uma função impar precisamos que F(0)=0; isso determina uma única função entre todas as primitivas de f.

 

Portanto, somente uma das primitivas F de f é ímpar, e tal primitva satisfaz F(0)=0.

Resposta: Verdadeiro

 

3. Se

f:[1,4]\to \mathbb{R}

é derivável com derivada contínua e

x-1\leq [f'(x)]^2 \leq x^2 -1, \qquad \forall x\in [1,4]

Então, o comprimento do gráfico de f é, no máximo, 15/2.

Solução:

Note que

x\leq 1 + [f'(x)]^2 \leq x^2 , \qquad \forall x\in [1.4]

\sqrt{x} \leq \sqrt{1+[f'(x)]^2} \leq \sqrt{x^2}=x, \qquad \forall x\in[1,4]

\int_{1}^{4} \sqrt{x}dx \leq \int_{1}^{4} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx \leq \int_{1}^{4} x dx

\left[\dfrac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^{4} \leq \int_{1}^{4} \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx \leq \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{4}

\dfrac{14}{3} \leq \int_{1}^{4} \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx \leq \dfrac{15}{2}

Portanto, o comprimento do gráfico de f é, no mínimo 14/3, e no máximo, 15/2.

Resposta: Verdadeiro

 

4. Se

f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}

é uma função contínua e ímpar:

f(-x)=-f(x), \, \forall x\in \mathbb{R}

Então, somente uma das primitivas de f é par.

Solução:

Seja F uma primitiva de f, isto é

\dfrac{d}{dx}\left(F(x)\right)= f(x)

Pela regra da cadeia, se g(x) = -x

\dfrac{d}{dx}(F(g(x)) = \left[ \dfrac{d}{dx} (F(x)) \right]_{g(x)}\cdot \dfrac{d}{dx}(g(x)) = \left[ f(x) \right]_{-x}\cdot \dfrac{d}{dx}(-x) = -f(-x)

\dfrac{d}{dx}(F(-x)) = -(-f(x))=f(x) = \dfrac{d}{dx}(F(x))

Dado que F(-x) e F(x) tem a mesmas derivadas, então elas diferenciam-se por uma constante:

F(-x)=F(x)+C, \, \forall x\in \mathbb{R}

Em particular:

F(0)=F(0)+C \Longrightarrow C=0

Temos:

F(-x)=F(x), \, \forall x\in \mathbb{R}

Portanto, qualquer primitiva F de f é par.

Resposta: Falso

 

5. Se

f:[a,b]\to \mathbb{R}

é contínua, então existe c em ]a, b[ tal que

\int_{a}^{b}f(x) dx = f(c) (b-a)

Solução:

Considere a função área:

A(x) = \int_a^{x} f(t)dt, \, \forall x\in [a,b]

Pelo teorema fundamental do cálculo, A(x) é continua em [a,b] e é diferenciável em ]a,b[, tal que

\dfrac{d}{dx}(A(x)) = f(x), \forall x\in ]a,b[

Logo, pelo teorema do valor médio, existe c em ]a, b[ tal que

\dfrac{A(b)-A(a)}{b-a}=\left[\dfrac{d}{dx}(A(x)) \right]_{x=c}

\dfrac{1}{b-a}\left(\int_{a}^{b}f(t)dt - \int_{a}^{a} f(t)dt \right) = \left[f(x) \right]_{x=c}

\dfrac{1}{b-a}\left(\int_{a}^{b} f(t)dt - 0 \right) = f(c)

\int_{a}^{b}f(t)dt= (b-a) \cdot f(c)

Resposta: Verdadeiro

 

6. Existe alguma função contínua

f:[0,1]\to \mathbb{R}cujo gráfico está entre os gráficos de g(x) = 2x e h(x)=3x2, tal que:

\int_{0}^{1} f(x) dx =1

Solução:

Considere

f(x) = \dfrac{2x+3x^2}{2}= x+ \dfrac{3}{2}x^2, \forall x\in [0,1]Note que

  • Se 0 <= x <= 2/3:

0\leq 3x \leq 2

0\leq 3x^2 \leq 2x

0\leq \dfrac{3}2 x^2 \leq x

Somando x:

x+\dfrac{3}{2}x^2 \leq 2x

f(x)\leq 2x

Somando 3x2/2:

3x^2 \leq x +\dfrac{3}{2}x^2

3x^2 \leq f(x)

Logo, f(x) está entre o gráfico das funções 3x2 e 2x.

  • Se 2/3 <= x <= 1:

2\leq 3x \leq 3

2x\leq 3x^2

x \leq \dfrac{3}{2}x^2

Somando x:

2x\leq x +\dfrac{3}{2}x^2

2x \leq f(x)

Somando 3x2/2:

x+\dfrac{3}{2}x^2 \leq 3x^2

f(x) \leq 3x^2

Logo, f(x) está entre o gráfico das funções 2x e 3x2.

Finalmente:

\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x+\dfrac{3}{2}x^2) dx

\int_0^1 f(x) dx = \left[\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2} \right]_0^1

\int_0^1 f(x) dx = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1

Resposta: Verdadeiro

 

7. Se

f,g: [a,b] \to \mathbb{R}

são contínuas e

\int_{a}^{b} g(x) dx =0

Então

\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx =0

Solução:

Considere f(x) = g(x) = sen(x), a = -pi/2, b = pi/2:

\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sen(x) dx = \big\[ -\cos(x) \big\]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cos \left(\frac{\pi}{2} \right) + \cos \left(-\frac{\pi}{2} \right) \right)

\int_{a}^{b} f(x) dx = \left(-\cos \left(\frac{\pi}{2} \right) + \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) \right) = 0

Mas

\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (sen(x))^2 dx

\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(x) \cos (x)}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = \frac{\pi}{2} \neq 0

 

Resposta: Falso

 

Para mais informação:
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