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Como resolver essa questão? Posso aplicar L'Hopital na expressão toda?

Cálculo


Aparentemente é um caso de infinito/zero.. Sites de resolução aplicam L'Hospital na expressão toda assim mesmo..

A expressão é
Lim x->+ ∞ ((x+1)/(x-1))^x

Desenvolvendo chego em "e" elevado ao limite com x -> ∞  de uma fração com ln((1+x)/(-1+x)) no numerador e 1/x no denominador.

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Thiago perguntou há 7 anos

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Professora Rafaela F.
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Respondeu há 7 anos
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Olá Thiago, Para resolver o lim x->+ ? ((x+1)/(x-1))^x, use que ((x+1)/(x-1))^x é equivalente a escrevermos exp(ln((x+1)/(x-1))^x), pois esta é uma propriedade do logaritmo. Então, teremos exp(x.ln((x+1)/(x-1))) e vamos analisar o limite na função x.ln((x+1)/(x-1) e depois voltaremos ao exponencial. lim(x.ln((x+1)/(x-1)) = lim((ln((x+1)/(x-1))/(1/x)), que é resulta em uma indefinição do tipo 0/0. Então vamos aplicar L'Hospital agora: lim (-2/(x^2 - 1))/(-1/x^2)) = lim 2x^2/(x^2 - 1), coloque o x^2 em evidência e perceba que o resultado desse limite é 2. Logo, o resultado final, voltando ao exponencial é exp(2) Espero ter ajudado!

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