Comprimento de arco

Professor João G.

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Respondeu há 2 anos

O rio é representado por 2y³=x²

A regiao das montanhas é 2y³-x² <0 , entao esta abaixo do rio (testa por exemplo o ponto x=0 y=-1)

Tambem a regiao das montanhas esta em x²+y² >20 do lado de fora da circunferencia. (Observação:  deve ter um erro no enunciado pois se fosse x^2.y²>20 daria infinito no perimetro, pois nao seria limitado, logo estou supondo o mais provavel que é x²+y²>20).

Entao ficamos com a figura abaixo, onde a regiao do vilarejo (fora das montanhas) esta dentro da circunferencia e acima da curva 2y³=x². Esta regiao na figura esta na parte superior delimitada por C3 e L (lado esquerdo e direito). 

https://profes.com.br/arquivos/joaoguedes/regiao-vilarejo/

Perimetro = 2L+ C2

O ponto de encontro ca circunferencia com a curva do rio é a solução do seguinte sistema de equaçoes:

x²+y² =20,  circunferencia de raio R=raizquadrada(20)

x²=2y³

substituindo a segunda eq na primeira obtemos:

y^2.(2y+1)= 20, cuja solução é y=2.

para y =2 , pela segunda equação x = 4 ou x=-4, que sao justanmente os dois pontos de intersecção da circunferencia com a curva do rio.

Para calcular o comprimento L temos a curva do rio,  sendo que x vai de 0 ate 4, e y de 0 ate 2.

Vamos parametrizar a curva com um parametro t.

Fazendo 

y=t 

x²=2y³

x= . t^3/2

sendo que t varia de 0 ate 2 (igual a y)

Calculando as derivadas e seus quadrados, pois vamos precisar para formula do comprimento do arco:

dy/dt =1 e (dy/dt)²=1

dx/dt = . 3/2.t^1/2 e (dx/dt)² = 2. 9/4 .t.=(9/2) t

Agora usamos a formula para comprimento de curva (x(t), y(t))parametrizada por t.

t variando de 0 ate 2.

integral facil de resolver por substituição, fazendo:

1+9t/2 =u, entao du =9dt/2

como t varia de 0 a 2, entao u varia de 1 a 10 (pela equação acima), entao a integral fica:

L= 2/9 . 2/3 . [u^3/2]¹⁰₁

L = 4/27 . [ 10^3/2 -1^3/2] = 4,54

Agora precisamos calcular o arco C2, 

Observe que o angulo subtendido pelo arco C2, chamaremos de Beta :

pelo triangulo azul 

  = 0,464 radianos

entao C2 vale:

, sendo R o raio da circunferencia.

entao finalmente para o perimetro obtemos:

Perimetro = 2.L +C2

Perimetro = 2 . 4,54 + 9,90

Perimetro = 18,98 ou aproximadamente 19.