Continuidade em um ponto

Professor Evandro E.

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Olá, Luan!! Boa noite! Tudo bem?

Em exercícios sobre continuidade de uma função f(x), com x-->2, temos que observar 3 coisas.

I) O limite da função existe para x-->2, ou seja, lim_x->2 {f(x)} = L₁ 

II) A função f(x) está definida em x=2, ou seja, f(2) = L₂ 

III) lim_x->2 {f(x)} = L₁ = f(2) = L₂ , ou seja, L₁ = L₂ 

Se as 3 observações forem válidas, então a função é contínua em x=2, ok?  

Resolução 

I) O limite da função existe para x-->2, ou seja, lim_x->2 {f(x)} = L₁ 

Quando x-->2, ou então, x=/=2 (x diferente de 2), então: 

lim_x->2 {f(x)} = (x^2 - 4)/(x - 2) = [(x - 2)*(x + 2)]/(x - 2)   => 

lim_x->2 {f(x)} = (x + 2) = 2 + 2 = 4   =>

lim_x->2 {f(x)} = (x^2 - 4)/(x - 2) = L₁ = 4 

II) A função f(x) está definida em x=2, ou seja, f(2) = L₂ 

Quando x=2, então: 

f(2) = a^2 + a 

f(2) = L₂ = a^2 + a 

III) lim_x->2 {f(x)} = L₁ = f(2) = L₂ , ou seja, L₁ = L₂ 

Para a função ser contínua, devemos ter: 

L₁ = L₂   => 

Usando os resultados encontrados, temos que: 

4 = a^2 + a   => 

a^2 + a - 4 = 0   => 

Resolvendo a equação de 2º grau, pelo método de bhaskara, para a variável a.

A= 1; B = 1; C = -4

delta = B^2 - 4.a.c = 1^2 - 4*1*(-4) = 1 + 16 = 17 

Então, as raízes são: 

a₁ = [-B + raiz(17)]/2*A = [-1 + raiz(17)]/2*1 = [-1 + raiz(17)]/2   => 

a₁ = [-1 + raiz(17)]/2 aproximadamente 1,56

Ou

a₂ = [-B - raiz(17)]/2*A = [-1 - raiz(17)]/2*1 = [-1 - raiz(17)]/2   => 

a₂ = [-1 - raiz(17)]/2 aproximadamente -2,56

Portanto, para a função ser contínua, devemos ter: 

a =[-1 + raiz(17)]/2   ou   a = [-1 - raiz(17)]/2 

Bons estudos!! Espero ter ajudado

=D