Determine os pontos críticos de f e depois classifique-os:

Cálculo Cálculo III Integral Derivadas Parciais Pontos críticos Cálculo Diferencial Avançado Ensino superior

Determine os pontos críticos de f e depois classifique-os:

f(x, y) =  x³/3 + 2 xy  -  3x²  +  y²  +  1

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Pedro perguntou há 3 anos

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Professor Paulo V.
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Olá Pedro,

Para determinar o ponto crítico de uma função de duas variáveis deve-se, da mesma maneira que fazemos para encontrar o ponto crítico de funções de uma variável, derivar a função em relação a variável e igualar a zero.

Pela segunda expressão, chega-se em

Usando desse resultado na primeira expressão,

Portanto, o ponto crítico é (8, -8). Para classificar esse ponto, pode-se usar o teste da segunda derivada. Para o caso de duas variáveis, ele é

Sendo (a, b) a coordenada do ponto crítico encontrado, tem-se que

1. g(a, b) > 0 e fxx(a, b) > 0, então (a, b) é um mínimo local.
2. g(a, b) > 0 e fxx(a, b) < 0, então (a, b) é um máximo local. 
3. g(a, b) < 0, então (a, b) é um ponto de sela.
4. g(a, b) = 0, então o teste é inconclusivo e (a, b) pode ser tanto um máximo local, quanto mínimo ou ponto de sela.

Para o caso da função desse problema, tem-se que

Portanto, g(8) > 0 e fxx(8) = 10 > 0, o ponto (8, -8) é um mínimo local.

Espero que seja útil. :)

Bons estudos!

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