1. Resolva a equação diferencial.
2xydx + (y^2 - x^2)dy= 0 ; faça x = y.v
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Não seria x^2+y^2 ?
Resolvendo do jeito que está, a substituição x=yv não funciona.
x=yv
dx=d(yv)
dx=ydv+vdy
Substituindo na equação:
2(yv)y.(ydv+vdy)+(y^2-(yv)^2)dy=0
Agrupando os termos em dy e em dv:
Comparando com a equação na forma
para a equação ser inteira, devemos ter
No nosso caso, e
Assim
Observe que os resultados não são iguais, então a equação não é inteira.
--------------------------------------------------------------------
Se tivéssemos y^2+x^2, a equação modificada seria inteira:
2xydx + (y^2 + x^2)dy= 0
2(yv)y.(ydv+vdy)+(y^2+(yv)^2)dy=0
Comparando com a equação na forma
temos
e
.
Para resolver, usamos
e
Partindo de :
Derivando em relação a y:
Comparando com :
Assim:
A solução é
onde E é uma nova constante
Substituindo x=yv, ou v=x/y, temos
(solução da equação - supondo que tenhamos y^2+x^2, e não y^2 - x^2)
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