Eq diferencial

Todas as equações são exemplos de equações diferenciais de primeira separáveis. Isso quer dizer que eu posso escrevê-las da seguinte forma M(x)dx + N(y)dy = 0 , cuja solução é obtida integrando. Tomamos a letra (a) por exemplo, dy/dx = 4x^3 * y^2 , que pode ser reescrita, dividindo os dois lados por y^2, y^{-2}dy/dx = 4x^3 , ou y^{-2}dy = 4x^3dx , integrando os dois lados, fica -y^{-1} = x^4 + C , resolvendo para y, y(x) = -1/(x^4 + C) . Ainda temos mais uma informação, y(1) = 1/3. Isso nos permite encontrar a constante de integração "C", veja, y(1) = -1/(1^4 + C) , 1/3 = -1/(1 + C) , 3 = -(1 + C) , C = -2. Com isso a solução da equação diferencial fica, y(x) = -1/(x^4 - 2) . Os outros exercícios é resolvido com o mesmo método. A (b) pode ser escrita como e^{-y}dy = (x^2 + 1)dx , a (c) por sua vez fica y^{-1}dy = sen(2x)dx , e assim por diante. O próximo passo é integrar e usar os valores de y(x) fornecidos para encontrar a constante de integração. Espero ter ajudado. Bons estudos!