Quando a capitalização é feita de maneira continua, a quantidade de dinheiro S aumenta a
uma taxa proporcional a quantidade presente em qualquer tempo:
dS/dt = kS
Em que k a taxa de juros.
(a) Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos, quando R$ 5.000,00 são
depositados a uma taxa anual de juros de 5,75% em capitalização contínua.
(b) Em quantos anos a soma inicial duplicará?
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Boa tarde, Matheus. Tudo bem?
a)
dS/dt = kS
Integral dS/S = integral kdt
ln(S) + c1 = kt + c2
ln(S) = kt+c2 - c1
c2 -c1 = c
ln(S) = kt+c
elnS = ekt . ec
ec = k
Sabemos que para t =0, S = R$ 5000,00
S(0) = 5000
S(T) = ekt . k
5000 = ek.0 . k
5000 = 1 .k
k = 5000
S(5) = ekt .5000
S(5) = e0,0575 . 5 . 5000
S(5) = R$ 6665,45
b)
10000 = e0,0575 . t. 5000
e0,0575 . t = 10000/5000
e0,0575 . t = 2
log e0,0575 . t = log2
0,0575 . t . log e = log 2
t = log2/0,0575.log e
t é aproximadamente 12 anos
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