Equação diferenciais calculo (coleção shaum)

Cálculo Cálculo I Ensino Superior (Cálculo Diferencial e Integral) Cálculo II Ensino superior Cálculo III Cálculo Diferencial Curso superior

Quando a capitalização é feita de maneira continua, a quantidade de dinheiro S aumenta a
uma taxa proporcional a quantidade presente em qualquer tempo:
dS/dt = kS

Em que  k a taxa de juros.
(a) Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos, quando R$ 5.000,00 são
depositados a uma taxa anual de juros de 5,75% em capitalização contínua.
(b) Em quantos anos a soma inicial duplicará?

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Matheus perguntou há 3 anos

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Professor Gerson O.
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Respondeu há 3 anos

Boa tarde, Matheus. Tudo bem?

a)

dS/dt = kS

Integral dS/S = integral kdt

ln(S) + c1 = kt + c2

ln(S) = kt+c2 - c1

c2 -c1 = c

ln(S) = kt+c

elnS = ekt  . ec

ec = k

Sabemos que para t =0, S = R$ 5000,00

S(0) = 5000

S(T) = ekt  . k

5000 = ek.0  .  k

5000 = 1 .k

k = 5000

S(5) = ekt .5000

S(5) = e0,0575 . 5  . 5000

S(5) = R$ 6665,45

b)

10000 = e0,0575 . t. 5000

e0,0575 . t = 10000/5000 

e0,0575 . t = 2

log e0,0575 . t  = log2

0,0575 . t . log e = log 2

t = log2/0,0575.log e

t é aproximadamente 12 anos

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