Equação diferencial (calculo coleção shaum)

Cálculo Cálculo I Ensino Superior (Cálculo Diferencial e Integral) Cálculo Diferencial Ensino superior Curso superior Cálculo II

Em capitalização contínua, o valor aplicado N aumenta a uma taxa proporcional a quantidade presente. Isto é dN/dt=kN Em que k é a taxa anual de juros. (a) Determine o montante acumulado ao longo de sete anos, considerando uma aplicação de R$ 9.000,00 a uma taxa de 2,5% em capitalização contínua. (b) Em quanto tempo o valor inicial aplicado quadruplicará?

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Matheus perguntou há 3 anos

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Professor Gerson O.
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Respondeu há 3 anos

Boa tarde, Matheus. Tudo bem?

a)

dN/dt = kN

Integral dN/N = integral kdt

ln(N) + c1 = kt + c2

ln(N) = kt + c2 - c1

c2 -c1 = c

ln(N) = kt+c

elnN = ekt  . ec

ec = k

Sabemos que para t =0, S = R$ 9000,00

N(0) = 9000

N(T) = ekt  . k

5000 = ek.0  .  k

9000 = 1 .k

k = 9000

N(7) = ekt .9000

N(7) = e0,025 . 7  . 9000

N(7) = R$ 10721,21

b)

36000 = e0,025 . t. 9000

e0,025 . t = 36000/9000 

e0,025. t = 4

log e0,025 . t  = log4

0,025 . t . log e = log 4

t = log4/0,025.log e

t é aproximadamente 55,45 anos

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