Equações diferenciais, cálculo ii

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1) Vários fenômenos físicos que encontramos em nosso cotidiano, como por exemplo, o resfriamento de uma xícara de café, são modelados matematicamente através de equações diferenciais. O estudo de equações diferenciais é um campo extenso tanto na matemática pura como na aplicada. Sobre o contexto acima, analise as afirmações abaixo e marque verdadeiro (V) ou falso (F).

(  ) Uma equação diferencial ordinária é uma igualdade que contém uma variável independente (por exemplo, x), uma variável dependente (por exemplo, y = f(x)) e algumas das suas derivadas, (por exemplo, y’, y", ..., y(n)).

(  ) As equações diferenciais podem ser classificadas quanto a sua linearidade em equações diferenciais lineares e equações diferenciais não lineares.

(  ) A equação diferencial y’’’ + y’’ – xy’ + y = 0 possui como solução geral a função y(x) = 2x.

(  ) Uma equação diferencial ordinária homogênea linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis, cuja solução é y = f(x), é da forma p2(x) y" + p1(x) y’ + p0(x) y = 0, onde p2(x), p1(x) e p0(x) são funções contínuas somente de x.

 

2) Uma equação diferencial ordinária é aquela em que estão envolvidas a função incógnita, dependente somente de uma variável, e suas derivadas. As equações diferenciais ordinárias são utilizadas em distintas áreas do conhecimento onde, através de modelos matemáticos, podemos lidar com diversas situações muito próximas das vivenciadas no cotidiano. Suponha que um capital de R$ 1.500,00 foi depositado em um fundo de investimento que paga juros a uma taxa anual (r) de 9%. Considerando que os juros são calculados continuamente, podemos escrever um problema de valor inicial que descreva o crescimento desse investimento: dS/dt = rS com S(0) = 1500. Tendo como base o problema acima,Qual será o saldo aproximado desse fundo de investimento após um ano e meio. Considere que nesse período não houve transações de saques ou depósitos.

3) Se uma função f(x) de uma variável real admite todas as suas derivadas, além de ser tal que f(x) e suas derivadas são todas limitadas, então f(x) admite uma expansão em série de Taylor centrada em x = k. A série de Maclaurin para uma função f(x) consiste na série de Taylor centrada em zero, ou seja, a série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor.

Considere a função f(x) = e-x. Utilizando a definição da série de Taylor, encontre a aproximação (polinômio) cúbica da função em torno de x = 0. 

Assinale a alternativa que fornece o valor da série encontrada (aproximação cúbica) em x = 1.

a) 0,21.

b) 0,33.

c) 0,41.

d) 0,45.

e) 0,50.

 

4) Muitos processos que ocorrem na natureza são periódicos ou repetitivos. Nesses casos, podemos aproximá-los por meio de funções periódicas. A série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas como uma série infinita de senos e cossenos. Para encontrarmos a série de Fourier de uma função, temos que calcular três coeficientes: a0, ak e bk.

Considere a função f(x) = x definida no intervalo -? < x < ?. 

Calcule o valor da constante de Fourier ak e assinale a alternativa correta.

a) cos(k?).

b) (-1)k.

c) [1 - (-1)k].

d) sen(k?).

e) 0.

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Paulo Silva perguntou há 4 anos

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Professor Bruno T.
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Respondeu há 4 anos

Boa Noite Paulo!

Em virtude da sua dúvida ser muito extensa é muito difícil que ela seja respondida aqui.

Recomendo que você adicione ela como uma tarefa do site ou entre em contato comigo para que possamos agendar uma aula online para resolver a lista.

Abraços!!!

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