Equações diferenciais

Cálculo Equações Diferenciais
o modelo de população suburbana de uma grande cidade é dado pelo problema de valor inicial. dp/dt= p(10^-1 - 10^-7p). onde t é medido em meses a) qual o valor limite da populaçãp? b) em que instante a população será igual á metade desse valor limite?
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Aline perguntou há 6 anos

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Professor Lucas P.
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Respondeu há 6 anos
Boa tarde aline. Qual seria o valor inicial para o problema? Pois sem ele não teríamos como definir qual a equação correta, sem a constante que sairá da integral. Precisamos da nossa condição inicial. Partindo disso podemos resolver todo o problema. Resolvendo está integral indefinida teremos a sequinte solução: P(t) = (10^6 * e^(t/10))/(cte + e^(t/10)) --->> qualquer dúvida como resolver é só me procurar que terei maior prazer em te ajudar. Para a letra A) só basta igualar a zero a derivada, ou seja o valor limite da população será quando a derivada primeira for nula. Logo resolvendo a equação para dp/dt=0 teremos que P=10^6 habitantes. Para a letra B precisamos do valor inicial para resolvê-la. Se não vejamos, Aline: logo não poderemos definir 10^6/2 = (10^6 * e^(t/10))/(cte + e^(t/10)) , resolvendo esta equação ficaremos com o sequinte resultado: T= 10*ln(cte) --> Poderá ser qualquer valor sem a condição inicial. Porém se você o tiver é só substituir que achará a sua resposta Aline. Espero ter ajudado, qualquer coisa podemos marcar uma aula para esclarecermos. Bons estudos Aline.

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Professor Luciano N.
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Respondeu há 6 anos


Olá Aline,
Esta equação é uma equação de Bernouli, que é do tipo dp/dt=ap-bp^2, em que a=10^-1 e b=10^-7
Para resolver esta equação diferencial de primeiro grau, é necessário separar as variáveis de modo que de um lado da equação tenha a variável p e do outro a variável t, porém, como há um termo quadrático p^2, será necessário uma substituição da variável p por outra do tipo z=p^(1-n), onde n é igual a potência de p no segundo termo, no caso aqui é 2.
Equação 1: dp/dt=ap-bp^2
Então, z fica: z=p^(1-2)=p^-1, p=z^-1, p'=-z^-2.z' (que é a derivada de p)
Substituindo p e p' em função de z na equação 1, temos:
(2) -z^-2.z'=a.z^-1-b.z^-2

Multiplicando ambos os lados de (2) por z^2:

(3) z'+a.z=b

Que é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução fica

(4) z = b/a + c.e^-at

Onde c é uma constante de integração.

Substituindo z=p^-1:

(5) p(t)=1/(b/a+c.e^-at)

Supondo p(0)=p0, então em (5) C fica:

(6) c=(1/p0-b/a)

Substituindo (6) em (5):

(7)p(t)=1(b/a+(1/p0-b/a).e^-at)

Supondo t tendendo ao infinito, então (7) se reduz a:

(8) p(t)=a/b

Substituindo a=10^-1 e b=10^-7:

p(infinito)=10^6

E para calcular o instante que a população será a metade deste valor, ou seja, a/b/2:

(9) p(t)=a/b/2=1/(b/a+(1/p0-b/a).e^-at)

Resolvendo (9) para t:

t=-ln(b/a/(1/p0-b/a))/a

Substituindo os valores de b e a e supondo que p0=1, deverás ter o seguinte resultado para t:

t=13,8155082...

Qualquer dúvida fico a disposição.

Abraço!

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