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Olá Aline,
Esta equação é uma equação de Bernouli, que é do tipo dp/dt=ap-bp^2, em que a=10^-1 e b=10^-7
Para resolver esta equação diferencial de primeiro grau, é necessário separar as variáveis de modo que de um lado da equação tenha a variável p e do outro a variável t, porém, como há um termo quadrático p^2, será necessário uma substituição da variável p por outra do tipo z=p^(1-n), onde n é igual a potência de p no segundo termo, no caso aqui é 2.
Equação 1: dp/dt=ap-bp^2
Então, z fica: z=p^(1-2)=p^-1, p=z^-1, p'=-z^-2.z' (que é a derivada de p)
Substituindo p e p' em função de z na equação 1, temos:
(2) -z^-2.z'=a.z^-1-b.z^-2
Multiplicando ambos os lados de (2) por z^2:
(3) z'+a.z=b
Que é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução fica
(4) z = b/a + c.e^-at
Onde c é uma constante de integração.
Substituindo z=p^-1:
(5) p(t)=1/(b/a+c.e^-at)
Supondo p(0)=p0, então em (5) C fica:
(6) c=(1/p0-b/a)
Substituindo (6) em (5):
(7)p(t)=1(b/a+(1/p0-b/a).e^-at)
Supondo t tendendo ao infinito, então (7) se reduz a:
(8) p(t)=a/b
Substituindo a=10^-1 e b=10^-7:
p(infinito)=10^6
E para calcular o instante que a população será a metade deste valor, ou seja, a/b/2:
(9) p(t)=a/b/2=1/(b/a+(1/p0-b/a).e^-at)
Resolvendo (9) para t:
t=-ln(b/a/(1/p0-b/a))/a
Substituindo os valores de b e a e supondo que p0=1, deverás ter o seguinte resultado para t:
t=13,8155082...
Qualquer dúvida fico a disposição.
Abraço!
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