Olá,
Estou com uma duvida para iniciar a questão, resolver a equação:
(1/r)∂/∂r(r∂V/∂r) + (1/r²)∂²V/∂θ²
esse primeiro termo significa (1/r)∂²Vr/∂r²?
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Não não amigão...se entendi certo, V é uma função de r e θ : V(r,θ)...vamos falar desse primeiro termo
∂/∂r(r∂V/∂r) isso é a derivada parcial com relação a r de r∂V/∂r, lembra da regra do produto? Derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo, mas derivada de r com relação a r dá 1 e a derivada de ∂V/∂r com relação a r dá ∂²V/∂r²..fica assim:
∂/∂r(r∂V/∂r)=∂V/∂r+r∂²V/∂r²
Não esquece que tem um (1/r) multiplicando:
(1/r)[∂V/∂r+r∂²V/∂r²]=(1/r).∂V/∂r+(r/r)∂²V/∂r²
Então ficou:
(1/r).∂V/∂r+∂²V/∂r²
Sacou? A equação diferencial ficou:
ce
(1/r).∂V/∂r+∂²V/∂r²+(1/r²)∂²V/∂θ²
Bem, como você não igualou ela a nada, ficou meio difícil de continuar. Olhando pra cara dela, me parece uma equação diferencial parcial(EDP). Nesse caso eu iria supoer que V(r,θ)=X(r).Y(θ)..sim, a solução seria o produto de duas funções, em cada uma depende de uma variável. Mas bem, eu nem sei se é essa matéria que você está tendo hahaha, teria que ver o que tem do outro lado da igualdade.
Bons Ventos!
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