M(t) = 500 (t^2) / (1+t^2)

Olá July, tranquilo? Esta é uma questão que envolve valor médio e derivadas. O conhecimento básico necessário pra esse tipo de questão é saber que a derivada de uma função é a representação da sua "taxa de crescimento", em outras palavras, é a sua velocidade de crescimento. Mas tem um detalhe, no item (a) ele pede a velocidade média, mas a velocidade média é simplesmente a variação de M dividido pelo tempo pedido, ou seja, para o item (a): (a) Vm = (M(7s) - M(3s))/(7-3) Mas M(7s) = 500*49/(1+49) = 500*49/50 = 490. M(3s) = 500*9/(1+9) = 500*9/10 = 450, ou seja: Vm = 40/4= 10 (a unidade é a unidade de M por segundo) Já o item (b) ele se trata de fato da velocidade instantânea, ou seja, de fato da derivada da função M Então, pra resolver, vamos primeiramente calcular a derivada da função M(t) = M'(t), note que M(t) é uma função de t em cima dividida por uma função de t embaixo da forma: M(t) = p(t)/q(t), vamos usar então a regra da derivada do quociente! M'(t) = [p'(t)*q(t) - p(t)*q'(t)]/[q(t)^2] mas, p(t) = 500t^2 -> p'(t) = 1000*t; q(t) = 1+t^2 -> q'(t) = 2*t Então M'(t) = [1000*t*(1+t^2)-500*t^2*(2*t)]/[(1+t^2)^2] = [1000*t+1000*t^3 - 1000*t^3]/[(1+t^2)^2] -> M'(t) = 1000*t/[(1+t^2)^2]. Beleza, agora a gente parte para as substituições: (b) V = M'(t) = dM/dt V(1s) = 1000*1/[4] = 250 (a unidade é a unidade de M por segundo) V(3s) = 1000*3/[100] = 30 (a unidade é a unidade de M por segundo) V(7s) = 1000*7/[2500] = 2,8

Olá, July a) Cálculo da velocidade média é igual a variação da quantidade dividido pela variação de tempo. t =3s =>M(t) = [500 x (3)2^] / [1 + (3)^2] = 4.500 / 10 = 450 compostos no tempo 3 segundos t = 7s => M(t) = [500 x (7)2^] / [1 + (7)^2] = 490 composto no tempo 7 segundos Média = 490 - 450 = 40 composto em 3 segundos = 40/4 = 10