Olá, essa questão foi cobrada numa prova da UnB e não consegui resolvê-la, assim, gostaria de ajuda.

A ideia que o professor Marcos usou está correta, mas alguns erros de cálculo levaram a resultados errados. Na verdade, as velocidades dos aviões foram trocadas nas expressões para x(t) e y(t). As expressões corretas são

x(t) = 10t
y(t) = 64 - 8t

O que leva às seguintes mudanças em d e d':

d(t) = (164t^2- 1024t+4096)^(1/2)
d'(t) = 1/2.(164t^2 - 1024t+4096)^(-1/2).( 328.t - 1024)

A expressão para d' pode ser simplificada para o calculo de d'(3) se percebermos que o denominador é a própria função d(t):

d'(t) = (1/2)( 328t - 1024)/d(t) = (164t - 512)/d(t). Logo,

d'(3) = -20/d(3).

Pelas descrições de x(t) e y(t), a posição dos aviões aos 3 segundos correspondem a 30 e 40 unidades de comprimento, sendo a distância entre eles, pelo teorema de pitágoras, igual a 50. Portanto

d'(3) = -20/50 = -2/5

O ponto de mínimo é obtido por d'(t) = 0, o que resultará t = 512/164 = 128/41. Explicar a quantidade de pontos mínimos é forçar um pouco a barra; tem 1 ponto de mínimo, e pronto. Do ponto de vista físico, eu diria que o fato de os aviões seguirem em linhas retas e em movimentos uniformes a 90º entre si faz com que, após a máxima aproximação, seu movimento seja sempre no sentido que os afasta, de modo a não haver outro ponto de mínimo num tempo posterior.

O limite em que t vai a infinito não pode ser calculado por l'Hospital, pois a função d(t) irá sucessivamente reaparecer. Em vez disso, e até mais simples: basta dividir por t o numerador e o denominador. Desta forma, após o cálculo do limite de cada termo que irá aparecer, restará apenas a fração 164/ 164^(1/2) = 164^(1/2). A interpretação desse fato (mais interessante do que a da quantidade de pontos mínimos, na minha opinião), é a seguinte: Quanto t vai a infinito, a distância entre os aviões é tão grande que já não importa mais o fator constante 64 somado a y(t), mas apenas as velocidades multiplicadas pelo tempo (que vai a infinito). Desta forma, aproxima-se essa situação à de um triângulo com lados 8t e 10t, os quais aumentam com o tempo. Pelo teorema de pitágoras, a hipotenusa deste triângulo (correspondente a distância d(t)) vale 164^(1/2)t . Sua taxa de variação, nessa situação limítrofe de tempo decorrido muito longo, corresponderá ao 164^(1/2) encontrado anteriormente.

Boa tarde André. x(t) = xo + vx.t orientado da esquerda para a direita y(t) = yo + vy.t orientado para baixo Como x()0) = x0, x0 = 0, e y0=64 I. Assim, x(t) = 8.t x, Km, t, min y(t) = 64 - 10.t " II. d(t) = Raiz (x^2 + y^2) d(t) = (64t^2+ 4096 - 1280.t + 100.t^2)^/(1/2) = (164t^2- 1280.t+4096)^(1/2) d'(t) = -1/2.(164t^2 - 1280.t+4096)^(-1/2).( 328.t - 1280) d'(3) = -1/2.(164.9 -1280.3+4096)^(-1/2).(328*3-1280) d'(3) = 3,5562 III. Quando d'(t) = 0 temos os pontos de máximo e de mínimo Assim, d'(t) = -1/2.(164t^2 - 1280.t+4096)^(-1/2).( 328.t - 1280) = o quando 164t^2 - 1280.t+4096 = 0 Aqui delta <=, não há raiz ou 328.t - 1280 = 0 => t = 3,9024 min Este é o ponto de mínimo pois a derivada segunda é negativa IV. Como se trata da derivada da raiz quadrada, a função tende a 0 quando t-> infinito, pois a distância cresce cada vez mais lentamente. Para esta dedução, faça u= a/2.t^2-bt+ c. Assim , no nosso caso, fazendo as substituições na função d'(t), teremos teremos -1/2u'/Raiz(u) = Raiz'(u) que tende a ter inclinação 0 quando t tende a infinito Espero ter ajudado. Se sim, e se houver outras respostas, espero que a escolha como a melhor, se esta merecer. Saudações. Prof. Marcos