Boa tarde desculpe pela escrita, prefiro usar a Linguagem Tex. kkk
NOTA PODEMOS ENCONTRAR INFINITAS, uma maneira de resolver.
Sejam u1=(1,2,0,-4) e u2=(2,0,-1,-3) vetores em R^4, Queremos encontrar uma transformação linear T: R^3 em R^4 tal que Imagem de T seja igual a base gerada pelos vetores u1 e u2.
Para isso vamos tomar um vetor genérico qualquer em R^3, (x,y,z) aqui precisamos definir uma base de R^3 qualquer base, para facilitar nossa vida vamos tomar a base canônica (w1=(1,0,0), w2=(0,1,0), w3=(0,0,1)) OBS: poderia ser outra que gera-se o R^3.
definindo agora que T(w1)=u1, T(w2)=u2 e T(w3)=u3, temos que achar um vetor de u3 de tal forma que este seja combinação de u1 e u2 ( pois a imagem ela só tem como base 2 vetores) tomando u3=u2+u1,( poderia escolher qualquer uma) temos que
T(w1)=T((1,0,0))=(1,2,0,-4)
T(w2)=T((0,1,0))=(2,0,-1,-3)
T(w3)=T((0,0,1))=(3,2,-1,-7) (pois, u2+u1=(2,0,-1,-3)+(1,2,0,-4)=(3,2,-1,-7))
Daí temos
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1) Aplicando a tranformação em ambos membros da igualdade fica
T((x,y,z))=T(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1) ) Por propriedades de uma Tranformação linear tem-se
T((x,y,z))=xT((1,0,0))+yT((0,1,0))+zT((0,0,1) ) Como vimos anteriormente
T((x,y,z))=xT(w1)+yT(w2)+zT(w3 )
T((x,y,z))=x(1,2,0,-4)+y(2,0,-1,-3)+z(3,2,-1,-7) E agora e so resolver
T((x,y,z))= (x+2y+3z, 2x+2z, -y-z, -4x-3y-7z) E uma das traformações que tem ImT={u1,u2}..