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Cálculo Cálculo II Avançado

seja z = xye^(x/y) verifique se x (a³ z/ax³) + y (a³z/ay ax²)=0

Matheus perguntou há 4 anos

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1 resposta

Professor Felipe P.

Respondeu há 4 anos

$\frac{\partial ^3}{\partial \:x^3}\left(xye^{\frac{x}{y}}\right)$

$=\frac{\partial ^2}{\partial \:x^2}\left(e^{\frac{x}{y}}y+e^{\frac{x}{y}}x\right)$

$=\frac{\partial \:}{\partial \:x}\left(2e^{\frac{x}{y}}+\frac{e^{\frac{x}{y}}x}{y}\right)$

$=\frac{3e^{\frac{x}{y}}y+e^{\frac{x}{y}}x}{y^2}$

A outra:

$\frac{\partial ^3}{\partial \:y\partial \:x^2}\left(xye^{\frac{x}{y}}\right)$

$=\frac{\partial ^2}{\partial \:x^2}\left(x\left(e^{\frac{x}{y}}-\frac{e^{\frac{x}{y}}x}{y}\right)\right)$

$=\frac{\partial \:}{\partial \:x}\left(e^{\frac{x}{y}}-\frac{e^{\frac{x}{y}}x}{y}-\frac{e^{\frac{x}{y}}x^2}{y^2}\right)$

$=\frac{-3e^{\frac{x}{y}}xy-e^{\frac{x}{y}}x^2}{y^3}$

Verificando:

$x\:\left(\frac{\partial \:^3z}{\partial \:\:x^3}\right)\:+\:y\:\left(\frac{\partial \:^3z}{\partial \:\:y\partial \:\:x^2}\right)\:=\$

$x\:\left(\frac{3e^{\frac{x}{y}}y+e^{\frac{x}{y}}x}{y^2}\right)\:+\:y\:\left(\frac{-3e^{\frac{x}{y}}xy-e^{\frac{x}{y}}x^2}{y^3}\right)\:=\$

$\frac{3e^{\frac{x}{y}}xy+e^{\frac{x}{y}}x^2}{y^2}\:+\:\frac{-3e^{\frac{x}{y}}xy-e^{\frac{x}{y}}x^2}{y^2}\:=\$

$=\:0$

Espero ter ajudado.

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