Projete uma caixa retangular de leite com largura x.........

Professor Paulo V.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 3 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Olá Julia,

Esse é um problema de otimização em várias variáveis. Nessa situação, é conveniente usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Essa é a definição:

Se f: admite valor extremo quando sujeita as restrições g_i(x) = 0, i =1, ..., m < n, então existem escalares l₁, ..., l_m, tais que

Nesse problema, a função que se deseja encontrar um extremo, no caso um mínimo, é o custo. Assim, denotando por L o custo lateral, de R$0,03/cm² e por F o custo do fundo e do topo, que é R$0,05/cm², essa função é

Enquanto que a função de restrição é referente ao volume da caixa.

em que os gradientes das expressões I e II são

Logo, pela definição de multiplicadores de Lagrange,  

Multiplicando a expressão III por x e a expressão IV por y e fazendo a diferença entre elas, chega-se que

Como z e L não podem ser 0, resta que

Usando desse resultado em V,

Usando desse resultado em IV,

Usando desse resultado em II, tem-se que x é

Portanto, as dimensões da caixa que minimizam o custo são

Sendo assim, pela expressão I, o custo mínimo é

Espero que seja útil. :)

Bons estudos!