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Oi Daniel
Imagine uma caixa quadrangular com base x, y e altura z.
Sendo assim temos:
Volume da caixa
V = x*y*z = 8
z = 8/(x*y) Eq. 1
Área Superficial Total
S = xy + 2yz + 2xz Eq. 2
Substituindo Eq 1 em 2, temos:
S = xy + 16/x + 16/y (condições x>0; y>0 e z>0)
Como queremos a superfície mínima deveremos derivar a função S em função de x e a seguir de y.
DS/Dx = y - 16/x² --> y - 16/x² = 0 --> x²y = 16 Eq. 3
DS/Dy = x - 16/y² --> x - 16/y² = 0 --> xy² = 16 Eq. 4
Perceba que Eq. 3 menos a Eq. 4 é zero, sendo assim temos:
x²y - xy² = 0
xy(x - y) = 0 Eq. 5
1ª Hipótese xy =0 (Impossível, pois teriamos que ter um dos lados igual a zero)
2ª Hipótese x = y (OK!) Eq.6
Substituído Eq. 6 em Eq. 3 temos:
x²*x = x³ = 16
x = ³V16 = 2,52m
Analogamente temos:
y = ³V16 = 2,52m
Por fim temos z da Eq. 1:
z = 8/(x*y)
z = 8/(2,52*2,52)
z = 1,26m
Um grande abraço,
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