O valor da integral de linha de xy²dx no quarto de circulo definido por x=4cost y=4sent com t variando de 0 a pi/2 é -128 -32 -64 -56 -48
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Olá Thiago.
f(x,y) = xy^2 = 4 cos t (4 sent)2 = 64 cos t sen2t
x = 4 cos t, y = 4 sen t 0 < t< Pi/2.
x' = - 4 sen t , y' = 4 cos t
raiz(x´^2+y´^2) = raiz[(-4sent)^2+(4cost)^2]= raiz[16sen)^2+16cost^2]=raiz16=4 ---> ds=4dt
Então
IntC xy^2 ds = Int 64 cos t sen^2t (4 dt) (calculado de 0 a Pi/2) = 256 Int (cos t sen^2t) dt = 256 [(1/3) sen3 t] de 0 a ^Pi/2 =
(256/3)[sen^3 (Pi/2) - sen^3 (0)] = 256/3*(1 - 0) = 256/3
Int em C (xy2 ds) = 256/3
Não há alternativa que se adeque, prof. Thiago. Me intriguei e procurei em língua inglesa: https://scientificsentence.net/Equations/CalculusIII/index.php?key=yes&Integer=line_integrals_ds
Poderá verificar que os cálculos acima estão corretos.
Saudações
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