Regra da cadeia- cáculo

Professor Evandro E.

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Respondeu há 3 anos

Olá, Eduardo!!

1. Use a regra da cadeia para determinar dz/dt

 z= cos (yx^2)   

x=t^4 - 2t

y= 1 - t^6

Solução: 

Usando a regra da cadeia, temos: 

dz/dt = (dz/dx)*(dx/dt) + (dz/dy)*(dy/dt)     EQ (01) 

Então, tem-se que: 

dz/dx = d[cos (yx^2)]/dx   =>   dz/dx = -sin(yx^2)*d[(yx^2)]/dx   =>   dz/dx = -sin(yx^2)*(y*2x)   => 

=>   dz/dx = (2xy)*(-sin(yx^2))   =>   dz/dx = -2xy*sin(yx^2)     EQ (02) 

dz/dy = d[cos (yx^2)]/dy   =>   dz/dy = -sin(yx^2)*d[(yx^2)]/dy   =>   dz/dy = -sin(yx^2)*(1*x^2)   => 

=>   dz/dy = (x^2)*(-sin(yx^2))   =>   dz/dy = (-x^2)*sin(yx^2)     EQ (03) 

dx/dt = d(t^4 - 2t)/dt   =>    dx/dt = d(t^4)/dt - d(2t)/dt   =>   dx/dt = 4t^3 - 2*1   =>   dx/dt = 4t^3 - 2     EQ (04) 

dy/dt = d(1 - t^6)/dt   =>    dy/dt = d(1)/dt - d(t^6)/dt   =>   dy/dt = 0 - 6t^5   =>   dy/dt = -6t^5     EQ (05) 

Usando as EQs (02), (03), (04) e (05), a EQ (01), fica: 

dz/dt = [dz/dx]*[dx/dt] + [dz/dy]*[dy/dt]   => 

dz/dt = [-2xy*sin(yx^2)]*[4t^3 - 2] + [(-x^2)*sin(yx^2)]*[-6t^5] 

2. Use a regra da cadeia para determinar dw/dt

w= x^2 - z / y^4     

x= t^3 + 7

 y= cos (2t)

z= 4t

Solução: 

Usando a regra da cadeia, temos: 

dw/dt = (dw/dx)*(dx/dt) + (dw/dy)*(dy/dt) + (dw/dz)*(dz/dt)     EQ (01) 

Então, tem-se que: 

dw/dx = d[x^2 - z / y^4]/dx   =>   dw/dx = d[(x^2)]/dx - d[(z / y^4)]/dx   =>   dw/dx = 2x - 0   => 

=>   dw/dx = 2x     EQ (02) 

dw/dy = d[x^2 - z / y^4]/dy   =>   dw/dy = d[(x^2)]/dy - d[(z / y^4)]/dy   =>  dw/dy = d[(x^2)]/dy - d[(z*y^-4]/dy    => 

=>   dw/dy = 0 - (-4)*z*y^-3   =>   dw/dy = 4z/z^3     EQ (03) 

dw/dz = d[x^2 - z / y^4]/dz   =>   dw/dz = d[(x^2)]/dz - d[(z / y^4)]/dz   =>  dw/dz = d[(x^2)]/dz - d[(z*y^-4]/dz    => 

=>   dw/dz = 0 - 1*y^-4   =>   dw/dz = -1/z^4     EQ (04) 

dx/dt = d(t^3 + 7)/dt   =>    dx/dt = d(t^3)/dt + d(7)/dt   =>   dx/dt = 3t^2 - 0   =>   dx/dt = 3t^2     EQ (05) 

dy/dt = d(cos (2t))/dt   =>    dy/dt = -sin(2t)*d(2t)/dt   =>   dy/dt = -sin(2t)*(2)   =>   dy/dt = -2sin(2t)     EQ (06) 

dz/dt = d(4t)/dt   =>    dz/dt = 4*1   =>   dz/dt = 4     EQ (07) 

Usando as EQs (02) a (07), a EQ (01), fica: 

dw/dt = [dw/dx]*[dx/dt] + [dw/dy]*[dy/dt] + [dw/dz]*[dz/dt]  => 

dw/dt = [2x]*[3t^2] + [4z/z^3]*[-2sin(2t)] + [-1/z^4]*[4] 

Dependendo do professor (e do objetivo dele), ocorre dele exigir a resolução além da resposta que eu deixei explícita, através da substituição das equações x=f(t), y=f(t) (e z=f(t)), bem como a distribuição dos termos e possíveis simplificações. 

Bons estudos!! =D

Professor Marcelo P.

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Respondeu há 3 anos

1. x² = t⁸ - 4t⁵ + 4t²

yx² = (1 - t⁶)(t⁸ - 4t⁵ + 4t²) = t⁸ - 4t⁵ + 4t² - t¹⁴ + 4t¹¹ - 4t⁸ = - t¹⁴ + 4t¹¹ - 3t⁸ - 4t⁵ + 4t²

z = cos(- t¹⁴ + 4t¹¹ - 3t⁸ - 4t⁵ + 4t²)

dz/dt = - (-14t¹³ + 44t¹⁰ - 24t⁷ - 20t⁴ + 8t)sen(- t¹⁴ + 4t¹¹ - 3t⁸ - 4t⁵ + 4t²) =  (14t¹³ - 44t¹⁰ + 24t⁷ + 20t⁴ - 8t)sen(- t¹⁴ + 4t¹¹ - 3t⁸ - 4t⁵ + 4t²)

2. x² = t⁶ + 14t³ + 49

w = t⁶ + 14t³ + 49 - 4t/cos⁴(2t)

dw/dt = 6t⁵ + 42t² - (4cos⁴(2t) - 4t . 4cos³(2t) . (-sen2t) . 2)/cos⁸(2t)) = 6t⁵ + 42t² - (4cos⁴(2t) + 32t . cos³(2t) . sen2t)/cos⁸(2t))