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Resolver limite sem recorrer à regra de l'hôpital

Cálculo Limítes

Como resolvo este limite recorrendo ao limite notável limx->0  [(sen (x))/x] = 1?

1. a) limx-> -pi/4 [((sen(x) + cos(x))/(cos(2x))]

Obrigado pela ajuda!!

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Gonçalo perguntou há 4 anos

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Professor Felipe P.
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A:\:cos\left(2x\right)\:=\:cos^2\left(x\right)\:-\:sen^2\left(x\right)

B:\:a^2\:-\:b^2\:=\:\left(a+b\right)\left(a-b\right)

 

\frac{\:sen\left(x\right)\:+\:cos\left(x\right)\:}{cos\left(2x\right)}\:=


=\:\:\frac{\:sen\left(x\right)\:+\:cos\left(x\right)\:}{cos^2\left(x\right)\:-\:sen^2\left(x\right)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:de\:\left(A\right)


=\:\:\frac{\:sen\left(x\right)\:+\:cos\left(x\right)\:}{\left(\:cos\left(x\right)\:+\:sen\left(x\right)\:\right)\left(\:cos\left(x\right)\:-\:sen\left(x\right)\:\right)}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:de\:\left(B\right)


=\:\:\frac{\:sen\left(x\right)\:+\:cos\left(x\right)\:}{\left(\:cos\left(x\right)\:+\:sen\left(x\right)\:\right)}\cdot \frac{1}{\left(\:cos\left(x\right)\:-\:sen\left(x\right)\:\right)}


=\:\:1\cdot \frac{1}{\left(\:cos\left(x\right)\:-\:sen\left(x\right)\:\right)}


=\:\:\frac{1}{\:cos\left(x\right)\:-\:sen\left(x\right)\:}

Agora é só substituir o limite

\lim _{x\to -\frac{\pi }{4}}\left(\frac{1}{\:cos\left(x\right)\:-\:sen\left(x\right)\:}\right)\:=\:

=\:\frac{1}{\:cos\left(-\frac{\pi }{4}\right)\:-\:sen\left(-\frac{\pi \:}{4}\right)\:}

=\:\frac{1}{\:\frac{1}{\sqrt{2}}\:-\:\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\:}

=\:\frac{1}{\:\frac{1}{\sqrt{2}}\:+\:\frac{1}{\sqrt{2}}\:}

=\:\frac{1}{\:\frac{2}{\sqrt{2}}\:}

=\:1\:\cdot \:\frac{\sqrt{2}}{2}\:

=\:\:\frac{\sqrt{2}}{2}\:

Não utilizei o limite fundamental indicado e nem Regra de l'Hôpital.

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