Seja o triângulo de vértices A(4,-1,-2), B(2,5,-6) e C(1,-1,2). Calcular o comprimento da mediana do triangulo relativa ao lado AB

Cálculo
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Claudia Cristina perguntou há 7 anos

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Professor Profes P.
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Respondeu há 7 anos


Dados dois pontos P e Q em um espaço tridimensional, temos que a medida do segmento PQ é igual a raiz{(x_p-x_q )^2+(y_p-y_q )^2 (z_p-z_q )^2 )}

Assim,

Medida do segmento AB é igual a raiz{(4-2)^2+(-1-5)^2+(-2+6)^2}=raiz56.
Medida do segmento AC é igual a raiz{(4-1)^2+(-1+1)^2+(-2+2)^2}=3.
Medida do segmento BC é igual a raiz{(2-1)^2+(5+1)^2+(-6+2)^2}=raiz53.

Segundo o Teorema de Stewart:

m=raiz{(2. a^2+2. b^2-c^2)/4}

Sendo m a medida da mediana referente ao lado c\equiv AB.

Logo,
a=raiz56
b=3
c=raiz53
m=raiz{[2. (raiz56)^2+2. (3)^2-(raiz53)^2]/4}=raiz{77/2}

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Professora Zuleica S.
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Respondeu há 7 anos


Bom dia!
A mediana de um triângulo é um segmento que une um de seus vértices ao ponto médio do lado oposto a esse vértice. Nesse caso o vértice é o C e o lado oposto é o lado AB.

Por isso então, primeiro vamos encontrar o ponto médio entre A e B através da fórmula:
M = ((xA+xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2)

M = ((4 + 2)/2, (-1 + 5)/2, (-2 + (-6))/2)
M = (6/2, 4/2, -8/2)
M = (3, 2, -4)

Em seguida encontrar a distância desse ponto médio ao ponto C pela fórmula:

d MC = Raíz ( (xM-xC)² + (yM - yC)² + (zM - zC)²) Podendo também inverter a ordem dentro dos parênteses, pois quando eleva ao quadrado vai ficar positivo de qualquer forma.

d MC = Raíz ( (3 - 1)² + (2 - (-1))² + (-4 - 2)²)
d MC = Raíz ( 2² + (2 +1))² + (-6)²)
d MC = Raíz ( 2² + (3))² + (-6)²)
d MC = Raíz ( 4 + 9 + 36)
d MC = Raíz ( 49)
d MC = 7

É bom você fazer o desenho do triângulo em questão para ficar mais fácil resolver o exercício.
Espero ter ajudado.

Dê uma olhada na resolução do colega Professor Pablo. Eu posso ter usado uma outra teoria. Mas, essa procura aprimora o conhecimento. 

 

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Egidio G.
Respondeu há 6 anos
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