Série de fourier

Cálculo Cálculo IV
Considere a função F(x) = { 1, 0 < x < =1 e 2-x, 1 < x <= 3 Esboce o gráfico da extensão ímpar de período 6 dessa função, de intervalo de -12 a 12. Determine a série de Fourier dessa função Determine o valor da soma dessa serie para x=0, x=1, x=3 e x=195.
Foto de Mariana C.
Mariana perguntou há 6 anos

Sabe a resposta?

Ganhe 10 pts por resposta de qualidade
Responder dúvida
1 resposta
0
votos
Nenhum usuário votou nessa resposta como útil.
Professor Sony M.
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
Respondeu há 6 anos


Olá Mariana,

Vamos à resolução!

a) para estender a função com o objetivo de criar uma função ímpar, vc precisa considerar a relação:

f(x) = -f(-x)

Neste caso, a função f(x) = { 1, 0 < x < =1 e 2-x, 1 < x <= 3 vai se transformar em -f(-x) = { -1, -1 < x < 0 e -2-x, -3 <= x < -1, de modo que a função ímpar com período 6 será

g(x) = { -2-x para -2 < x <= -1, -1 para -1 < x <= 0, 1 para 0 < x < =1 e 2-x para 1 < x <= 3 }

Estendendo de -12 à 12, vc vai ter um gráfico dessa forma

Gráfico

b) Se o intervalo é 6, então o L da fórmula da série de Fourier será 3. Na tal fórmula, vc precisa calcular a0, an e bn, os quais são calculados a partir de algumas integrais que vc já deve estar ciente. Para a0, teremos

a0 = (1/L) integral_{-L}^{L} [ g(x) ]dx

Lembrando que a integral de função ímpar em intervalo simétrico é nulo, o resultado de a0 será nulo.

a0 = 0

Calcula an:

an = (1/L) integral_{-L}^{L} [ g(x)*cos(n*pi*x/L) ]dx

= (1/3) integral_{-3}^{-1} [ (-x-2)*cos(n*pi*x/3) ]dx (1º)
+ (1/3) integral_{-1}^{0} [ -1*cos(n*pi*x/3) ]dx (2º)
+ (1/3) integral_{0}^{1} [ 1*cos(n*pi*x/3) ]dx (3º)
+ (1/3) integral_{1}^{3} [ (2-x)*cos(n*pi*x/3) ]dx (4º)

As integrais resultam em

1º = (2 Cos[(2 n Pi)/3] (n Pi Cos[(n Pi)/3] - 3 Sin[(n Pi)/3]))/(n^2 Pi^2)
2º = -(Sin[(n Pi)/3]/(n Pi))
3º = Sin[(n Pi)/3]/(n Pi)
4º = (-2 (n Pi Cos[(n Pi)/3] - 3 Sin[(n Pi)/3]) Sin[(2 n Pi)/3])/(n^2 Pi^2)

O resultado final fica

an = 2 [Cos(2 n Pi/3)-Sen(2 n Pi/3)] [n Pi Cos(n Pi/3) - 3 Sin(n Pi/3)]/(n^2 Pi^2)

Para o cálculo de bn, o procedimento é similar, bastando trocar cos por sen na integral:

bn = (1/L) integral_{-L}^{L} [ g(x)*sen(n*pi*x/L) ]dx

Após resolver a integral e encontrar a expressão de bn, é comum tentar se livrar dos senos e cossenos. Mas isto demanda uma análise que seria difícil realizar por aqui, onde a forma de escrever as equações é muito limitada.

A dica é variar os valores de n e ir analisando os valores de an e bn. Por exemplo, se para um função da forma:

h = sen(n*pi) + 1,

teríamos

h = 1 para n par
h = 0 para n ímpar

Assim, a séria de Fourier poderia ser escrita sem a necessidade do seno.

Contudo, no seu caso, os resultados de an e bn são mais complexos e conseguir sumir com os senos e cossenos será bem difícil.

Por fim, na letra c) é só substituir os valores de x na seria de fourier (não é naquelas integrais) e calcular tentando simplicar ao máximo.

Por enquanto é isso.

Até e bons estudos!

Envie uma dúvida gratuitamente

Envie sua primeira dúvida gratuitamente aqui no Tira-dúvidas Profes. Nossos professores particulares estão aqui para te ajudar.

Professores particulares de Cálculo

+ Ver todos
Encontre professor particular para te ajudar nos estudos
R$ 70 / h
Sony M.
São Paulo / SP
Sony M.
4,6 (21 avaliações)
Horas de aulas particulares ministradas 30 horas de aula
Tarefas resolvidas 21 tarefas resolvidas
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
1ª hora grátis
Cálculo Vetorial para Cálculo Cálculo II Derivadas Parciais
Doutorado: Física (Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS))
Professor de Física, Matemática e Engenharia. Aprenda de forma objetiva e eficaz!
R$ 80 / h
Marcos T.
Iguaba Grande / RJ
Marcos T.
5,0 (82 avaliações)
Horas de aulas particulares ministradas 819 horas de aula
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
1ª hora grátis
Cálculo para Concurso Limítes Equações
Graduação: Engenharia Civil (UNIESP)
Mais de 2000 horas de aulas on-line ministradas. Inúmeras aprovações em concursos militares e vestibulares. Meu objetivo é seu entendimento.
R$ 55 / h
Marcos F.
Rio de Janeiro / RJ
Marcos F.
4,9 (1.326 avaliações)
Horas de aulas particulares ministradas 1.676 horas de aula
Tarefas resolvidas 1.570 tarefas resolvidas
Identidade verificada
  • CPF verificado
  • E-mail verificado
1ª hora grátis
Cálculo para Concurso Integrais Cálculo I
Graduação: Intercâmbio Internacional e Graduação Sanduíche (Miami University)
Professor de matemática, física e química com 10 anos de experiência! Vem aprender comigo!
Envie uma tarefa, lista de exercícios, atividade ou projeto
  • Você define o prazo
  • Professores fazem propostas e você escolhe o melhor
  • Interação com o professor por chat
  • Se não gostar da resolução, reembolsamos
Enviar Tarefa

Envie uma dúvida gratuitamente

Envie sua primeira dúvida gratuitamente aqui no Tira-dúvidas Profes. Nossos professores particulares estão aqui para te ajudar.

Encontre um professor e combine aulas particulares Presenciais ou Online