Séries e potência

Como cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) Então se a=x e b=x cos(2x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x) cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) Agora, como cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) Então se a=x e b=x cos(0) = cos(x)cos(x) + sen(x)sen(x) cos(0) = cos^2(x) + sen^2(x) 1 = cos^2(x) + sen^2(x) Então 1 - cos(2x) = cos^2(x) + sen^2(x) - (cos^2(x) - sen^2(x)) 1 - cos(2x) = 2 sen^2(x) sen^2(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x) Agora escrevendo o cosseno em séries cos(x) = Somatório de n=0 até infinito de { (-1)^n * x^(2n)/ (2n)! } Ou seja, cos(x) = 1 - x^2 /2 + x^4 / 24 - x^6 / 6! + ... Logo, cos(2x) = Somatório de n=0 até infinito de { (-1)^n * (2x)^(2n)/ (2n)! } Ou seja, cos(2x) = 1 - 4*x^2 /2 + 16*x^4 / 24 - 64*x^6 / 6! + ... 1/2cos(2x) = Somatório de n=0 até infinito de { 1/2 * (-1)^n * (2x)^(2n)/ (2n)! } Reescrevendo a série começando de n =1, temos: 1/2cos(2x) = Somatório de n=1 até infinito de { 1/2 + 1/2 * (-1)^n * (2x)^(2n)/ (2n)! } Então, 1/2 - 1/2 cos(2x) 1/2 - 1/2 cos(2x) = 1/2 - Somatório de n=1 até infinito de { 1/2 + 1/2 * (-1)^n * (2x)^(2n)/ (2n)! } 1/2 - 1/2 cos(2x) = Somatório de n=1 até infinito de { -1/2 * (-1)^n * (2x)^(2n)/ (2n)! } Posso trocar o sinal de menos da expressão adicionando 1 no exponente de (-1) 1/2 - 1/2 cos(2x) = Somatório de n=1 até infinito de { +1/2 * (-1)^(n+1) * (2x)^(2n)/ (2n)! } sen^2(x) = Somatório de n=1 até infinito de { +1/2 * (-1)^(n+1) * (2x)^(2n)/ (2n)! }