Tarefa de calculo 3.1

1) P=(3,1,4), H: x + 2y - z - 2=0, d(P,H) = |3 + 2 - 4 - 2 |/ raiz(1+4+1) = |-1|/ raiz(6) = raiz(6) / 6 2) Resolverei depois....

1) a menor distância entre um ponto Q e um plano p é a definição entre o ponto e o plano. Ela é a projeção ortogonal do ponto ao plano e pode ser calculado pela seguinte fórmula: dQp = |ax0+by0+cz0+d|/raiz(a²+b²+c²), Onde a, b, c e d são os coeficientes da equação do plano p e x0, y0 e z0 são as coordenadas do ponto Q. Substituindo os valores: dQp = |1.3+2.1-1.4-2|/raiz(1²+2²+(-1)²) dQp = |3+2-4-2|/raiz(1+4+1) = 1/raiz6 = raiz6/6 2) Área Total: A = 2xy+2yz+2xz, logo: 2(x+y)z = A-2xy z = (A-2xy)/2(x+y) Volume = xyz, onde x, y e z são as dimensões do paralelepípedo. Subtituindo z: V = xy(A-2xy)/2(x+y) Derivando em relação à x e igualando a zero: V = (Axy-2x²y²)/2(x+y) Derivando em relação à x e igualando a zero: V' = [(2x+2y)(Ay-4xy²)-(Axy-2x²y²)(2y+2)]/ 4(x+y)² = 0 V' = 2Axy-8x²y²+2Ay²-8xy3-2Axy²-2Axy+4x²y3+4x²y² = 0 V' = -4x²y²+2Ay²-8xy3-2Axy²+4x²y3 = 0 Dividindo por 2y² dos 2 lados: -2x²+A-4xy-Ax+2x²y = 0 (i) Derivando em relação à y e igualando a zero: V' = [(2x+2y)(Ax-4x²y)-(Axy-2x²y²)(2x+2)]/ 4(x+y)² = 0 Seguindo os mesmos passos chegamos a: -2y²+A-4xy-Ay+2xy²= 0 (ii) Igualando (i) e (ii) 2x²+A-4xy-Ax+2x²y = -2y²+A-4xy-Ay+2xy² Rearranjando a expressão e simplificando os termos: 2(x²-y²) + (x-y)A + 2xy(y-x) = 0. A única possibilidade desta solução é fazendo x =y. Seguindo mesmo raciocínio inicial em relação à x e y podemos concluir que x = y = z, ou seja, o paralelepípedo em questão é um cubo.