Os pontos críticos são os pontos onde o gradiente não está definido ou é zero. Assim, em cada item, deve-se calcular o gradiente e igualar a zero para encontrar a resposta. Vamos as questões:
a) grad(f) = (3x^2,3y^2). Fazendo (3x^2,3y^2) = (0,0), temos 3x^2 = 0 e 3y^2 = 0 e portanto x=0 e y=0. Ponto crítico (0,0).
b) grad(f) = (2x/(x^2+1), 2y/(y^2+1)). Novamente temos que resolver 2x/(x^2+1) = 0 e 2y/(y^2+1) = 0 e portanto x=0 e y=0. Ponto crítico: (0,0)
c) grad(f) = (20xy-3y, 10x^2-3x -12y^-2). Temos que resolver 20xy-3y = 0 e 10x^2-3x -12y^-2 = 0. Temos a solução x=0 e y=0. Caso x e y sejam diferentes de zero, podemos cortar o y na primeira equação obtendo x = 3/20, mas ao jogar esse valor na segunda equação, vamos ter uma raiz negativa que não tem solução, por isso o único ponto crítico é: (0,0)
d)grad(f) = (e^x + e^y, xe^y), a primeira componente desse gradiente nunca se anula, por isso essa função não tem pontos críticos.
Para determinar quais desse pontos críticos são pontos de sela, podemos analisar o sinal da função para pontos próximos do ponto crítico. No item a) e c) como f(0,0) = 0, basta verificar que f pode ser tanto negativa quanto positiva perto do ponto crítico (0,0), o que de fato acontece. Portanto os pontos críticos de a) e c) são pontos de sela.
No caso do item b) f(0,0) = 0 e para qualquer ponto, temos f(x,y)> 0, portanto o ponto crítico de b) é um mínimo absoluto da função.
Como o item d) não tem ponto crítico, não faz sentido falar sobre ponto de sela nesse caso.