1) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas.
a) cosx . tgx . cossecx = 1
b) tg^2x . cossec^2x = 1 + tg^2x
c) (tgx + 1) (1 - tgx) = 2 - sec^2x
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Olá Ana Clara.
Primeiramente, aqui estão algumas das identidades trigonométricas importantes para resolução:
1 - tg(x) = sex(x)/cos(x)
2 - sec(x) = 1/cos(x)
3 - cossec(x) = 1/sen(x)
4 - sec²(x) = 1 + tg²(x)
a) cos(x) . tg(x) . cossec(x):
Utilizando as identidades 1 e 3 temos:
= cos(x) . [sex(x)/cos(x)] . [1/sen(x)]
= 1
b) tg²(x) . cossec²(x) = 1 + tg²(x )
Novamente utilizando as identidades 1 e 3:
= [sen²(x)/cos²(x)] . [1/sen²(x)]
= [1/cos²(x)]
Em seguida, substituindo a identidade 2:
= sec²(x)
E finalmente a identidade 4:
= 1 + tg²(x)
c) (tg(x) + 1) . (1 - tg(x)) = 2 - sec²(x)
= tg(x) - tg²(x) + 1 - tg(x)
= 1 - tg²(x)
Utilizando a identidade 4, temos que tg²(x) = 1 - sec²(x). Assim:
= 1 - [1 - sec²(x)]
= 2 - sec²(x)
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