Uma indústria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:

Para encontrar a produção que maximiza o lucro, vamos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar as derivadas parciais do lucro em relação a $x$ e $y$.
2. Igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
3. Usar o teste da segunda derivada para verificar se o ponto crítico encontrado corresponde a um máximo.
4. Calcular o lucro nesse ponto.

O lucro $L$ é dado por:

Passo 1: Encontrar as derivadas parciais

Vamos calcular as derivadas parciais de $L$:

Passo 2: Igualar as derivadas a zero

Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

1. $60-3x-y=0$ (1)
2. $100-3y-x=0$ (2)

Resolvendo o sistema de equações:

Da equação (1), podemos expressar $y$ em função de $x$:

Substituímos $y$ na equação (2):

Simplificando:

Substituímos $x$ na expressão para $y$:

Portanto, temos um ponto crítico em ( (x, y) = (10, 30) ).

Passo 3: Teste da segunda derivada

Calculamos as segundas derivadas para verificar se temos um máximo local:

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana $H$:

O determinante $D$ da matriz $H$ é dado por:

Como $D>0$ e $\frac{{\partial }^{2}L}{\partial x^2}<0$, podemos concluir que temos um máximo local no ponto crítico encontrado.

Passo 4: Calcular o lucro nesse ponto

Agora, vamos calcular o lucro $L$ quando $x=10$ e $y=30$:

Assim, o lucro máximo da indústria é R\$ 1.800 quando a produção é $x=10$ e $y=30$.