Volume do sólido s

Professor David C.

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Respondeu há 4 anos

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Considere a região

Calcular o volume quando roda em torno do Eixo X e calcular quando roda em torno de Y.

Solução:

• Rotação em torno ao eixo X:

Sejam f(x)=x² e g(x) = x, com x em [0,1]. Note que se 0 <= x <= 1:

Então o volume é

• Rotação em torno ao eixo Y:

Sejam f(x)=x² e g(x) = x, com x em [0,1]. Note que se 0 <= x <= 1:

Então o volume é

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Professor André M.

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Respondeu há 4 anos

Olá Alberto.

Primeiramente, é importante saber a fórmula para cálculo de volume de sólidos de revolulção:

V=pi int[f(x)]² dx

Nesse caso, temos duas situações diferentes, com eixo de rotação em x e em y.

Precisamos definir a função f(x) para cada situação com base na região descrita.

Eixo x: f(x)=x-x²

Eixo y: f(y)=(raiz y) - y

Agora precisamos definir os limites de integração para cada caso:

Eixo x: 0<x<1

Eixo y: 0<y<1

Calcular as integrais:

V=pi int[x-x²]² dx (variando de 0 a 1)

V=pi int[raiz(y) - y]² dy (variando de 0 a 1)

Resolvendo a primeira:

V=pi int[x-x²]² dx =pi int x²-2x³+x⁴ dx = pi[(x³/3) - (2x⁴/4) + (x⁵/5)] (calculado de 0 a 1) = pi[1/3 - 1/2 + 1/5] = pi/30

Resolvendo a segunda:

V=pi int[(raiz y) - y]² dy =pi int y²+y-2y(raiz y) dy = pi [(y³/3) + (y²/2) + (2y^5/2/(5/2))] (calculado de 0 a 1) = pi [1/3 + 1/2 - 4/5] = pi/30